作业帮设f是[0,1]上的连续函数,证明lim(n趋向于正无穷)n∫(从0到1)x^nf(x)dx=f(1)
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 11:40:59
![设f是[0,1]上的连续函数,证明lim(n趋向于正无穷)n∫(从0到1)x^nf(x)dx=f(1)](/uploads/image/z/7105775-23-5.jpg?t=%E8%AE%BEf%E6%98%AF%5B0%2C1%5D%E4%B8%8A%E7%9A%84%E8%BF%9E%E7%BB%AD%E5%87%BD%E6%95%B0%2C%E8%AF%81%E6%98%8Elim%28n%E8%B6%8B%E5%90%91%E4%BA%8E%E6%AD%A3%E6%97%A0%E7%A9%B7%29n%E2%88%AB%28%E4%BB%8E0%E5%88%B01%29x%5Enf%28x%29dx%3Df%281%29)
设f是[0,1]上的连续函数,证明lim(n趋向于正无穷)n∫(从0到1)x^nf(x)dx=f(1)
设f是[0,1]上的连续函数,证明lim(n趋向于正无穷)n∫(从0到1)x^nf(x)dx=f(1)
设f是[0,1]上的连续函数,证明lim(n趋向于正无穷)n∫(从0到1)x^nf(x)dx=f(1)
题目没有问题
∫{0,1}xⁿ*f(x)dx=∫{0,1-1/√n}xⁿ*f(x)dx+∫{1-1/√n,1}xⁿ*f(x)dx
由于f(x)在[0,1]上连续,xⁿ在[0,1]上不变号,且在[0,1]上可积
对f(x)在[0,1-1/√n]上运用积分第一中值定理,存在一点ξ₁∈[0,1-1/√n],使得
∫{0,1-1/√n}xⁿ*f(x)dx=f(ξ₁)*∫{0,1-1/√n}xⁿdx
=f(ξ₁)*[x^(n+1)/(n+1)]| {0,1-1/√n}
=f(ξ₁)*(1-1/√n)^(n+1)/(n+1)
对f(x)在[1-1/√n,1]上运用积分第一中值定理,存在一点ξ₂∈[1-1/√n,1],使得
∫{1-1/√n,1}xⁿ*f(x)dx=f(ξ₂)*∫{1-1/√n,1}xⁿdx
=f(ξ₂)*[1/(n+1)-(1-1/√n)^(n+1)/(n+1)]
=f(ξ₂)/(n+1)[1-(1-1/√n)^(n+1)]
故lim{n→∞}n*∫{0,1}xⁿ*f(x)dx
=lim{n→∞}n*f(ξ₁)*(1-1/√n)^(n+1)/(n+1)+lim{n→∞}n* f(ξ₂)/(n+1)[1-(1-1/√n)^(n+1)]
由于lim{n→∞}(1-1/√n)^(n+1)
=lim{n→∞}(1-1/√n)^n
=lim{x→0+}(1-x)^(1/x²)
=lim{x→0+}e^[1/x²*ln(1-x)]
=e^{lim{x→0+}[1/x²*(-x)]} a→0,ln(1+a)~a
=0
故lim{n→∞}n*f(ξ₁)*(1-1/√n)^(n+1)/(n+1)
=lim{n→∞}f(ξ₁)*lim{n→∞}[n/(n+1)]*lim{n→∞}(1-1/√n)^(n+1)
=lim{n→∞}f(ξ₁)*1*0
=0
注：∵f(x)在[0,1]上连续,∴f(x)有界,∴lim{n→∞}f(ξ₁)为有限值
∵当n→∞时,1-1/√n→1,∴ξ₂→1
故lim{n→∞} n* f(ξ₂)/(n+1)[1-(1-1/√n)^(n+1)]
=lim{n→∞}f(ξ₂)*lim{n→∞}[n/(n+1)]*lim{n→∞}[1-(1-1/√n)^(n+1)]
=lim{ξ₂→1}f(ξ₂)*1*(1-0)
=f(1) 由连续性
因此,lim{n→∞}n*∫{0,1}xⁿ*f(x)dx=f(1),证毕
本题若直接根据积分中值定理,得到存在一点ξ∈(0,1),使得
∫{0,1}xⁿ*f(x)dx=ξⁿ*f(ξ),这里0
题目错了吧。根据积分中值定理，式子左边等于c^n*f(c)，c属于（0,1），f是闭区间上连续，所以有界，c^n*f(c)极限就是0，不是f（1）