如何证明绝对连续函数的倒数也是绝对连续函数设f(x)是闭区间[a,b]上的绝对连续函数,且恒不为零,则1/ f(x)也是绝对连续函数.

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/28 13:17:42

如何证明绝对连续函数的倒数也是绝对连续函数设f(x)是闭区间[a,b]上的绝对连续函数,且恒不为零,则1/ f(x)也是绝对连续函数.
如何证明绝对连续函数的倒数也是绝对连续函数
设f(x)是闭区间[a,b]上的绝对连续函数,且恒不为零,则1/ f(x)也是绝对连续函数.

如何证明绝对连续函数的倒数也是绝对连续函数设f(x)是闭区间[a,b]上的绝对连续函数,且恒不为零,则1/ f(x)也是绝对连续函数.
证明（定义）：
f∈AC[a,b],则f∈C[a,b],又f恒不为零即|f|＞0,且f在[a,b]上有最值,则|f|≥m＞0,
对任意ε＞0,存在δ＞0,对任意[a,b]内的开区间族{(ak,bk)}k=1到n,只要∑(k=1,n)(bk-ak)＜δ,就有∑(k=1,n)|f(bk)-f(ak)|＜m^2 * ε；
则∑(k=1,n)|1/f(bk)-1/f(ak)|=∑(k=1,n)|f(bk)-f(ak)|/|f(ak)*f(bk)|
≤∑(k=1,n)|f(bk)-f(ak)|/m^2＜m^2 * ε /m^2=ε,即1/ f(x)也是绝对连续函数,证毕

用反证法。

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