一的三次方加二的三次方加三的三次方一直加到一百的二次方等于几

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/28 22:26:34

一的三次方加二的三次方加三的三次方一直加到一百的二次方等于几
一的三次方加二的三次方加三的三次方一直加到一百的二次方等于几

一的三次方加二的三次方加三的三次方一直加到一百的二次方等于几
1^3+2^3+3^3+...+100^3
=(100*101/2)^2
=25 502 500
http://zhidao.baidu.com/q?word=1%5E3%2B2%5E3%2B3%5E3&ct=17&pn=0&tn=ikaslist&rn=10&lm=0&fr=search
证明1^3+2^3+3^3+...+n^3=(1+2+3+...+n)^2=[n(n+1)/2]^2
n^4-(n-1)^4
=[n^2-(n-1)^2][n^2+(n-1)^2]
=(2n-1)(2n^2-2n+1)
=4n^3-6n^2+4n-1
2^4-1^4=4*2^3-6*2^2+4*2-1
3^4-2^4=4*3^3-6*3^2+4*3-1
4^4-3^4=4*4^3-6*4^2+4*4-1
.
n^4-(n-1)^4=4n^3-6n^2+4n-1
各等式全部相加
n^4-1^4=4*(2^3+3^3+...+n^3)-6*(2^2+3^2+...+n^2)+4(2+3+4+...+n)-(n-1)
n^4-1^4=4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)-6*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)+4(1+2+3+4+...+n)-(n-1)-2
n^4-1=4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)-6*n(n+1)(2n+1)/6+4*n(n+1)/2-n-1
n^4-1=4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)-n(n+1)(2n+1)+2n(n+1)-n-1
n^4-1=4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)-n(n+1)(2n+1)+2n(n+1)-n-1
4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)
=n^4-1+n(n+1)(2n+1)-2n(n+1)+n+1
=n^4-1+(n+1)(2n^2-n)+n+1
=n^4-1+(2n^3+n^2-n)+n+1
=n^4+2n^3+n^2
=(n^2+n)^2
=(n(n+1))^2
1^3+2^3+3^3+...+n^3
=[n(n+1)/2]^2

等于四分之一乘一百的二次方乘一百零一的二次方等于25502500