作业帮在三角形ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,若向量m=（2,0）.与向量n=（sinB,1-cosB)的夹角为派/3（1）求角B的大小（2）若b=根号3,求a+b的取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/12 02:16:59
在三角形ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,若向量m=（2,0）.与向量n=（sinB,1-cosB)的夹角为派/3（1）求角B的大小（2）若b=根号3,求a+b的取值范围
在三角形ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,若向量m=（2,0）.与向量n=（sinB,1-cosB)的夹角为派/3
（1）求角B的大小（2）若b=根号3,求a+b的取值范围
在三角形ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,若向量m=（2,0）.与向量n=（sinB,1-cosB)的夹角为派/3（1）求角B的大小（2）若b=根号3,求a+b的取值范围
1）因为向量 n 与x轴正向同向,因此向量 m 与x轴正向夹角为 π/3 ,
所以由 1-cosB>0 得 tan(π/3)=(1-cosB)/sinB ,
化简得 1-cosB=√3sinB ,
√3sinB+cosB=1 ,
√3/2*sinB+1/2*cosB=1/2 ,
sin(B+π/6)=1/2 ,
因此 B+π/6=π/6 或 B+π/6=5π/6 ,
解得 B=2π/3 （舍去0）.
2）b=√3,
根据正弦定理可得：b/sinB=a/sinA=c/sinC,
而b/sinB=√3/sin2π/3=2,
所以a= 2sinA,c=2 sinC.
a+c= 2(sinA +sinC).
因为 A+C=π-B=π/3 ,
所以 sinA+sinC=sinA+sin(π/3-A)
=sinA+sin(π/3)cosA-cos(π/3)sinA
=sinA+√3/2*cosA-1/2*sinA
=1/2*sinA+√3/2*cosA
=sin(A+π/3)
由于 0
（1）
m·n=（2，0）·（sinB,1-cosB)=2sinB
又|m|=2，|n|=根号((sinB)^2+(1-cosB)^2)=根号(2-2cosB)
故m·n=|m||n|cos
=2·根号(1-2cosB)·cos(60度)
=根号(1-2cosB)
所以2sinB=根号(1-2cosB)
两边平方：4(...
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（1）
m·n=（2，0）·（sinB,1-cosB)=2sinB
又|m|=2，|n|=根号((sinB)^2+(1-cosB)^2)=根号(2-2cosB)
故m·n=|m||n|cos
=2·根号(1-2cosB)·cos(60度)
=根号(1-2cosB)
所以2sinB=根号(1-2cosB)
两边平方：4(sinB)^2=1-2cosB
即4-4(cosB)^2=1-2cosB
解得cosB=(1+根号13)/4或cosB=(1-根号13)/4
因为0
（2）
正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC
所以
a+c
=b/sinB·(sinA+sinC)
=2b/sinB·sin((A+C)/2)·cos((A-C)/2)
=2b/sinB·cos(B/2)·cos((A-C)/2)………………因为(A+C)/2)+B/2=π/2
<=2b/sinB·cos(B/2)………………当且仅当A=C时等号成立
=根号3·根号(2+2根号13)/4·根号(10-2根号13)/4
=根号(3根号13-2根号3)/4
收起