一扇形的周长为20 cm,当扇形的圆心角a等于多少时,这个扇形的面积最大?最大面积是多少?设扇形的半径为R,则扇形的弧长L ,则2R+L=20 cm扇形面积S=1/2RL因为 RL≤[(R+L)/2]^2 ,并且当且仅当R=L时取等号

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/11 15:50:48

一扇形的周长为20 cm,当扇形的圆心角a等于多少时,这个扇形的面积最大?最大面积是多少?设扇形的半径为R,则扇形的弧长L ,则2R+L=20 cm扇形面积S=1/2RL因为 RL≤[(R+L)/2]^2 ,并且当且仅当R=L时取等号
一扇形的周长为20 cm,当扇形的圆心角a等于多少时,这个扇形的面积最大?最大面积是多少?
设扇形的半径为R,则扇形的弧长L ,则2R+L=20 cm
扇形面积S=1/2RL
因为 RL≤[(R+L)/2]^2 ,并且当且仅当R=L时取等号
即当R=L时RL取得最大值
所以根据2R+L=20 cm 求得R=L=20/3 cm
故圆心角a=L/R=1
最大面积为 S=1/2×(20/3)^2=200/9
请问该解答错在哪里?

一扇形的周长为20 cm,当扇形的圆心角a等于多少时,这个扇形的面积最大?最大面积是多少?设扇形的半径为R,则扇形的弧长L ,则2R+L=20 cm扇形面积S=1/2RL因为 RL≤[(R+L)/2]^2 ,并且当且仅当R=L时取等号
这是利用不能式来做.但是你弄混淆了一个概念：RL≤[(R+L)/2]^2这个不等式没有错.但[(R+L)/2]^2并不是RL的最大值.还有比[(R+L)/2]^2更大的那就是2RL

因为 RL≤，并且当且仅当R=L时取等号 [(R+L)/2]^2 不是定值你的取等号没有意义RL≤[(R+L)/2]^2 是一条基本不等式，对于任意两个数都适用。您能够说清楚一点为什么[(R+L)/2]^2 不是定值时取等号没有意义吗？基本不等式是对的没错随着你左边 RLl 变化右边[(R+L)/2]^2也是变的那你取最大值那就不一定了...

全部展开

因为 RL≤，并且当且仅当R=L时取等号 [(R+L)/2]^2 不是定值你的取等号没有意义

收起

设扇形的半径为R，则扇形的弧长L ，则2R+L=20 ，L=20-2R,
扇形面积S=1/2RL=R(10-R)<=25,当R=5时取等号，
∴S的最大值为25.
您的错误在于没有用到约束条件：L=20-2R.从约束条件L=20-2R上看，L是R的函数。但您能够进一步指出在我的解法中形式似乎是对的，“S=1/2RL ，所以当R=L时RL取得最大值即面积S取得最大值”但实际上...

全部展开

设扇形的半径为R，则扇形的弧长L ，则2R+L=20 ，L=20-2R,
扇形面积S=1/2RL=R(10-R)<=25,当R=5时取等号，
∴S的最大值为25.
您的错误在于没有用到约束条件：L=20-2R.

收起

假设半径长为R，则弧长为20-2R。
弧长和圆心角的度数a之间满足：
20-2R = 2*PI*R*(a/360)
扇形的面积可以表示为
S = PI * R^2 * (a/360) = (10-R) * R = -R^2 + 10R = -(R-5)^2 + 25 <= 25
当且仅当R=5cm时取最大值25 cm^2。
此时a = 360 / 3...

全部展开

假设半径长为R，则弧长为20-2R。
弧长和圆心角的度数a之间满足：
20-2R = 2*PI*R*(a/360)
扇形的面积可以表示为
S = PI * R^2 * (a/360) = (10-R) * R = -R^2 + 10R = -(R-5)^2 + 25 <= 25
当且仅当R=5cm时取最大值25 cm^2。
此时a = 360 / 3.14 约为114.65度
即，当圆心角为114.65度是，扇形面积最大，最大值是25平方厘米。

收起