A是n阶矩阵,证明：A可逆当且仅当对任意n维向量β,方程组Ax=β有解主要证充分性

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/28 17:34:42

A是n阶矩阵,证明：A可逆当且仅当对任意n维向量β,方程组Ax=β有解主要证充分性
A是n阶矩阵,证明：A可逆当且仅当对任意n维向量β,方程组Ax=β有解
主要证充分性

A是n阶矩阵,证明：A可逆当且仅当对任意n维向量β,方程组Ax=β有解主要证充分性
首先要有这个概念:
方程组Ax=β有解当且仅当 β 可由A的列向量组线性表示.
若这个结论没问题, 就可以这样证明充分性
因为对任意n维向量β,方程组Ax=β有解
所以任一n维向量都可由A的列向量组线性表示
特别地, 对n维基本向量 ε1,ε2,...,εn 可由A的列向量组线性表示
而任一n维向量都可由 ε1,ε2,...,εn 线性表示
所以, A的列向量组与 ε1,ε2,...,εn 等价.
所以 r(A) = r(ε1,ε2,...,εn) = n
所以 A 可逆.

反证法：A不可逆则A行等价的简化阶梯阵有全零行，B任意的话，AX的增广矩阵可能首元出现在最后一列，则无解，即矛盾，即证原命题成立

分别解出
Ax=[1,0...0]^T
Ax=[0,1...0]^T
...
Ax=[0,0...1]^T
把解得的X按列排在一起就是A的逆

假定A不可逆，则存在可逆矩阵P,Q经过初等变换把 A变换成如下标准型：
Ir, 0
0 0
其中Ir是r维单位阵，则
方程Ax=b可以化解成PAQQ'x=Pb，其中Q'是Q的逆矩阵
既然b是任意矩阵，P是可逆矩阵，我们一定可以选取b使得Pb的最后一个元素为1，其余全为0
而显然此时左侧PAQQ'x 的最后一行等于0*Q'x =0，其中等式矩阵的0是...

全部展开

收起

Ax=[1,0...0]^T
Ax=[0,1...0]^T
...
Ax=[0,0...1]^T
把解得的X按列排在一起就是A的逆

A是n阶矩阵,证明：A可逆当且仅当对任意n维向量β,方程组Ax=β有解主要证充分性设A,B均为n阶矩阵.证明:分块矩阵AB BA是可逆矩阵当且仅当A+B A-B均为可逆矩阵设A,B是n阶矩阵,证明:当且仅当A和B都可逆,乘积矩阵AB可逆. 大学线性代数可逆矩阵设A,B均为n阶矩阵.证明:分块矩阵（A B)是可逆矩阵当且仅当A+B与A-B均为可逆矩阵B A 证明一个N阶实对称矩阵A是正定的当且仅当存在可逆实对称矩阵B,满足A=B*B 设A是n阶实对称矩阵证明:A是半正定矩阵当且仅当对任意n阶半正定矩阵B都有tr(AB)大于等于设A是n阶实对称矩阵证明:A是半正定矩阵当且仅当对任意n阶半正定矩阵B都有tr(AB)大于等于0 tr指矩阵设A为n阶实矩阵,证明A是正交矩阵当且仅当对任意的n维向量α,β有(Aα,Aβ)=(α,β) 设C为n阶实可逆矩阵,A为n阶实对称矩阵,证明：A正定当且仅当C'AC正定如何证明n阶矩阵A即是正交矩阵又是正定矩阵当且仅当A为单位矩阵? 矩阵证明设A, B均为n阶对称矩阵,证明AB是对称矩阵当且仅当A与B可交换如何证明A是正规矩阵当且仅当A有n个标准正交特征向量.A是n阶复矩阵 A为n阶实矩阵,证明：AA'=A^2当且仅当A=A‘ 矩阵A是可逆矩阵当且仅当0不是A的特征值怎么证GOT IT 设A,B是同阶对称矩阵,证明AB是对称矩阵当且仅当A,B可交换设A,B是同阶对称矩阵,证明AB是对称矩阵当且仅当A,B可交换证明：A是反对称矩阵,当且仅当对任一个n维向量X,有X'AX＝0. 有关矩阵的一道证明题假设A和B是NXN的可逆矩阵.证明detA = detB当且仅当 A=UB,U为满足detU = 1的一个矩阵. 定理二阶矩阵A=[a b/（换行）c d]可逆,当且仅当什么条件?