作业帮求函数y=1+sinx+cosx+sinxcosx的值域
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 18:17:16
求函数y=1+sinx+cosx+sinxcosx的值域
求函数y=1+sinx+cosx+sinxcosx的值域
求函数y=1+sinx+cosx+sinxcosx的值域
sinx+cosx=t
√2sin(x+∏/4)=t
-√2≤t≤√2
1+2sinxcosx=t²
sinxcosx=(t²-1)/2
y=1+sinx+cosx+sinxcosx
=1+t+(t²-1)/2
=t²/2+t+1/2
=1/2(t²+2t+1)
=1/2(t+1)²
t=-1 y=0
t=√2 y=1/2(√2+1)²
y∈{0,1/2(√2+1)²}
-2~4
y=1+sinx+cosx+sinxcosx
令sinx+cosx=t (-√2<=t<=√2)
(sinx+cosx)^2=t^2
1+2sinxcosx=t^2
sinxcosx= (t^2-1)/2
所以
y=1+t+(t^2-1)/2
=1/2t^2+t+1/2
=1/2(t+1)^2
所以
1. t=-1时,取最小值=0
2. t=√2时,取最大值=√2+3/2
令t = sinx+cosx 则，t^2 = 1+ 2sinxcosx
原函数: y = 1/2 t^2 + t +1/2
t=√2 (sin(x+π/4)) 即 t的取值范围是【-√2，√2 】
则原函数y的值域是【0，√2 + 3/2 】
此类题，换元法是最方便的方法
y=1+sinx+cosx+sinxcosx=（1+sinx)(1+cosx),先求（1+sinx)^2+(1+cosx)^2,可以看作A(1.1)到B（-sinx,-cosx)的距离。
数形结
合。B点在以1为半径的圆上,范围是（根2-1,根2+1)
（1+sinx)^2+(1+cosx)^2>根2-1>=4（1+sinx)(1+cosx),
所以值域为（0，（根2-1)/4)