证明两角和的余弦公式

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/08 03:35:23
证明两角和的余弦公式

证明两角和的余弦公式
证明两角和的余弦公式

证明两角和的余弦公式
首先,在三角形ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c
若A,B均为锐角,则在三角形ABC中,过C作AB边垂线交AB于D
由CD=asinB=bsinA
（做另两边的垂线,同理）
可证明正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC
于是有：
AD+BD=c
AD=acosA,BD=acosB
AD+BD=c
代入正弦定理,可得
sinC=sin(180-C)=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA
即在A,B均为锐角的情况下,可证明正弦和的公式.利用正弦和余弦的定义及周期性,可证明该公式对任意角成立.（证明略）,
于是有
cos(A+B)=sin(90-A-B)=sin(90-A)cos(-B)+cos(90-A)sin（-B）=cosAcosB-sinAsinB

由两角差的余弦公式知：cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ,
在上面公式中，令-β=β，则有cos(α+β)=cosαcos（-β）+sinαsin（-β） =cosαcosβ-sinαsinβ
即cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

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