一道数学题（最值求函数：y=(2-sinx)/(2-cosx)的最值

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/02 18:13:27

一道数学题（最值求函数：y=(2-sinx)/(2-cosx)的最值
一道数学题（最值
求函数：y=(2-sinx)/(2-cosx)的最值

一道数学题（最值求函数：y=(2-sinx)/(2-cosx)的最值
解法一：可将该式看作定点(2,2)和动点(cosx,sinx)连线的斜率,
而动点(cosx,sinx)的轨迹是单位圆,
所以可把问题化成求单位圆上的动点和定点A(2,2)连线的斜率的最大值.
承上分析,设切线的斜率为k,则切线方程为y-2=k(x-2),
即y-kx+2(k-1)=0
由于单位圆圆心到切线的距离等于1,有
|0-k·0+2(k-1)|/√[1+(-k)²]=1,解得k=(4±√7)/3.
由图像可知过点A(2,2)与单位圆上各点连线的斜率的最大值为(4+√7)/3,最小值为(4-√7)/3
即y的最大值为(4+√7)/3,最小值为(4-√7)/3
解法二：原函数化为sinx-ycosx=2-2y
√(1+y²)·sin(x-θ)=2-2y,其中θ满足sinθ=y/√(1+y²),cosθ=1/√(1+y²),
∴sin(x-θ)=(2-2y)/√(1+y²).
∵|sin(x-θ)|≤1,∴|(2-2y)/√(1+y²)|≤1,
得3y²-8y+3≤0.
解得(4-√7)/3≤y≤(4+√7)/3

y=7

MAX:(4+根7)/3 MIN:(4-根7)/3

2楼的答案太标准了

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