作业帮证明1997*1998*1999*2000+1是一个整数的平方并求出这个数
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 03:58:07
证明1997*1998*1999*2000+1是一个整数的平方并求出这个数
证明1997*1998*1999*2000+1是一个整数的平方并求出这个数
证明1997*1998*1999*2000+1是一个整数的平方并求出这个数
设1997=a
那么1997*1998*1999*2000+1
=a(a+1)(a+2)(a+3)+1
=(a^2+3a)(a^2+3a+2)+1
=(a^2+3a)^2+2(a^2+3a)+1
=(a^2+3a+1)^2
所以1997*1998*1999*2000+1=（1997^2+3*1997+1）^2
为完全平方数
设1998＝a，
1997*1998*1999*2000+1＝(a-1)a(a+1)(a+2)-1=a^4+2a^3-a^2-2a+1
=a^4+2a^3+a^2-a^2-a^2-2a+1
=a^2(a+1)^2-2a(a+1)+1
=[a(a+1)-1]^2
这个整数就是a(a+1)-1
1998×1999－1＝3994001
1996*1996+5*1996+5
令a=1997
则原式=a(a+1)(a+2)(a+3)+1
=[a(a+3)][(a+1)(a+2)]+1
=(a^2+3a)[(a^2+3a)+2]+1
=(a^2+3a)^2+2(a^2+3a)+1
=(a^2+3a+1)^2
所以是个整数的平方
a=1997
所以
a^2+3a+1=1997^2+3*1997+1=3994001
证明：可设1997=n，则有
n(n+1)(n+2)(n+3)+1
=n(n+3)(n+1)(n+2)+1
=(n²+3n)(n²+3n+2)+1
=(n²+3n)²+2(n²+3n)+1
=(n²+3n+1)²
=(1997²+3×1997+1)²<...
全部展开
证明：可设1997=n，则有
n(n+1)(n+2)(n+3)+1
=n(n+3)(n+1)(n+2)+1
=(n²+3n)(n²+3n+2)+1
=(n²+3n)²+2(n²+3n)+1
=(n²+3n+1)²
=(1997²+3×1997+1)²
其中：
1997²+3×1997+1
=(2000-3)²+3×(2000-3)+1
=4000000-2×6000+9+6000-9+1
=4000001-6000
=3994001
所以这个整数是：3994001。
收起
1997*1998*1999*2000+1
=(1998-1)1998*1999(1999+1)+1
=(1998^2-1998)*(1999^2+1999)+1
=1998^2*1999^2-1998*1999^2+1999*1998^2-1999*1998+1
=(1998*1999)^2-1998*1999(1999-1998+1)+1
=(1998*...
全部展开
1997*1998*1999*2000+1
=(1998-1)1998*1999(1999+1)+1
=(1998^2-1998)*(1999^2+1999)+1
=1998^2*1999^2-1998*1999^2+1999*1998^2-1999*1998+1
=(1998*1999)^2-1998*1999(1999-1998+1)+1
=(1998*1999)^2-2*1998*1999+1
=(1998*1999-1)^2
得证
这个整数是：
1998×1999-1
=1998×2000-1999
=3996000-1999
=3994001
收起