求一个半径为R的圆的内接三角形的最大面积要用导数求?

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/14 07:51:31

求一个半径为R的圆的内接三角形的最大面积要用导数求?
求一个半径为R的圆的内接三角形的最大面积
要用导数求?

求一个半径为R的圆的内接三角形的最大面积要用导数求?
如图,圆的内接三角形的最大面积,这三角形只能是个等边的三角形.
由三线合一定理：AD⊥BC,且平分BC.
在Rt△OBD中,∠OBD＝30°,∴OD＝1/2 R
得高 AD＝R＋1/2 R＝1.5R
在Rt△ABD中,由勾股定理得AB²＝(0.5R)²＋(1.5R)²,解得：AB＝R√2.5
∴△ABC的面积＝底×高÷2＝R√2.5×1.5R÷2≈1.19R²

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通过正弦定理证明这个内接三角形如果面积最大，那么一定是等边三角形。
假设三角形两个顶角是a，b，那么根据正弦定理，
这俩个角度对边长度是
L1=2rsina
L2=2rsinb
夹角是180-a-b
三角形面积是L1*L2*sin(180-a-b)/2
展开可知，就是求
sinasinbsin(a+b)的最大值
固定a，求b的极值，可得2b+a=180，说明这是个等腰三角形
固定b，求a的极值，可得2a+b=180，说明另外两条表也相等，所以三边相等，是正三角形

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