要在边长为2的等边三角形纸片ABC的边AB上找一点D,过点D剪下两个等边三角形纸片,他们的边长分别是AD和DB,要使剪下的两点等边三角形面积和最小,点D应选在何处,为什么,麻烦把原因说详细一点

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/05 04:16:17

要在边长为2的等边三角形纸片ABC的边AB上找一点D,过点D剪下两个等边三角形纸片,他们的边长分别是AD和DB,要使剪下的两点等边三角形面积和最小,点D应选在何处,为什么,麻烦把原因说详细一点
要在边长为2的等边三角形纸片ABC的边AB上找一点D,过点D剪下两个等边三角形纸片,他们的边长分别是AD和DB,要使剪下的两点等边三角形面积和最小,点D应选在何处,为什么,麻烦把原因说详细一点,

答：

等边△ABC边长为2：AB=BC=AC=2,AD+BD=2

设AD=x,则BD=2-x

以AD和BD为边的两个正△ADF和正△BDE

面积之和：

S=(x^2)sin60°/2+[(2-x)^2]sin60°/2

=(√3/4)(x^2+4-4x+x^2)

=(√3/2)(x^2-2x+2)

=(√3/2)[(x-1)^2+1]

当且仅当x-1=0时,面积之和S最小为√3/2

所以：AD=x=1

所以：点D在AB中点时得到的两个小正三角形的面积之和最小为√3/2

等边三角形的高 = 边长* sin60 = √3/2*边长
剪下的两点等边三角形面积和
S = AD*√3/2*AD + DB*√3/2*DB
= √3/2（AD^2+DB^2）
= √3/2 (AD+DB)^2 - √3*AD*DB
= √3/2*AB^2 - √3*AD*DB
若想要S最小，由于√3/2*AB^2不变，则需要√3*AD*...

全部展开

等边三角形的高 = 边长* sin60 = √3/2*边长
剪下的两点等边三角形面积和
S = AD*√3/2*AD + DB*√3/2*DB
= √3/2（AD^2+DB^2）
= √3/2 (AD+DB)^2 - √3*AD*DB
= √3/2*AB^2 - √3*AD*DB
若想要S最小，由于√3/2*AB^2不变，则需要√3*AD*DB最大，因为AD+DB=AB一定，则AD=DB时值最大，所以，D点应该选在AB的中间。

收起