作业帮函数y=sin（x/5+（2k+1）π/2）【k∈z）的周期是多少
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/15 15:34:47
函数y=sin（x/5+（2k+1）π/2）【k∈z）的周期是多少
函数y=sin（x/5+（2k+1）π/2）【k∈z）的周期是多少
函数y=sin（x/5+（2k+1）π/2）【k∈z）的周期是多少
周期是T=2∏/(1/5)=10∏
最小正周期的概念：
对于一个函数f(x),如果它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期.
对于正弦函数y=sinx,自变量x只要并且至少增加到x+2π时,函数值才能重复取得.所以正弦函数和余弦函数的最小正周期是2π.（说明：如果以后无特殊说明,周期指的就是最小正周期.）
在函数图象上,最小正周期是函数图象重复出现需要的最短距离.
4.例：求下列函数的周期：
（1）y=3cosx
分析：只要cosx中的自变量只要且至少增加到x+2π时,函数cosx的值才重复出现,因而函数3cosx的值也才重复出现,因此y=3cosx的周期是2π．（说明cosx前面的系数和周期无关.）
（2）y=sin(x+π/4)
分析略,说明在x后面的角也不影响周期.
（3）y=sin2x
分析：因为sin2(x+π)=sin(2x+2π)=sin2x,所以自变量x只要且至少增加到x+π时,函数值就重复出现.所以原函数的周期为π.（说明x的系数对函数的周期有影响.）
（4） y=cos(x/2+π/4) （分析略）
（5）y=sin(ωx+φ) （分析略）
结论：形如y=Asin(ωx+φ) 或y=Acos(ωx+φ) (A,ω,φ为常数,A0,xR) 的函数的周期为T=(2π)/ω
sinAx,周期T=2kπ+2π/(/A/),最小正周期t=2π/(/A/)
cosAx,周期T=2kπ+2π/(/A/),最小正周期t=2π/(/A/)
tanAx,周期T=kπ+π/(/A/),最小正周期t=π/(/A/)
cotAx,周期T=kπ+π/(/A/),最小正周期t=π/(/A/)
T=2π/(1/5)=10π
因为周期=2π/ω
ω 就是指X前的系数
在这题中就是1/5了
T=2π/(1/5)=10π
最小正周期是10π
这个呢主要是根据几个三角函数的公式得来的
第一个是sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB那么可以根据这个公式展开得到函数
y=-sin(kπ)sin(x/5)+cos(x/5)cos(kπ)展开这个函数的过程中用到了sin(π/2)=1 cos(π/2)=0
第二个公式是cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
全部展开
最小正周期是10π
这个呢主要是根据几个三角函数的公式得来的
第一个是sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB那么可以根据这个公式展开得到函数
y=-sin(kπ)sin(x/5)+cos(x/5)cos(kπ)展开这个函数的过程中用到了sin(π/2)=1 cos(π/2)=0
第二个公式是cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
那么得到的y=-sin(kπ)sin(x/5)+cos(x/5)cos(kπ)其实也就是y=cos(x/5+kπ)因为K∈z,所以这里呢要对K分情况了
若K=0时那最小正周期就是10π
若K=2T T∈z 且T不属于0 那周期和上一种情况周期是相同的 因为COSX=COS(X+2Tπ),根据这个公式也可以得出来周期是10π
若K=2T+1 同样是T∈z,且T不属于0,那就是y=cos[X/5+(2T+1)π]=cos(X/5+π)
那现在就可以利用公式cos(X+π)=-cosX
那最后得出来呢就是y=-cos(X/5),最小正周期也是10π
纵上得出 函数y的最小正周期是10π
方法比较烦琐,主要是运用公式比较多了,好长时间不做了 实在想不出更简单的方法.
收起