作业帮定积分与微积分基本定理的题目已知抛物线y=x^2-2ax(a>0),若过原点的直线l与抛物线所围成的图形面积为（9/2)a^3,求直线l的方程这道题最后答案是y=ax或y=-5ax,
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 16:04:08
定积分与微积分基本定理的题目已知抛物线y=x^2-2ax(a>0),若过原点的直线l与抛物线所围成的图形面积为（9/2)a^3,求直线l的方程这道题最后答案是y=ax或y=-5ax,
定积分与微积分基本定理的题目
已知抛物线y=x^2-2ax(a>0),若过原点的直线l与抛物线所围成的图形面积为（9/2)a^3,求直线l的方程
这道题最后答案是y=ax或y=-5ax,
定积分与微积分基本定理的题目已知抛物线y=x^2-2ax(a>0),若过原点的直线l与抛物线所围成的图形面积为（9/2)a^3,求直线l的方程这道题最后答案是y=ax或y=-5ax,
在想
想到了
设直线方程y=kx
则直线和y=x^2-2ax相交,
有交点（0,0）和交点（k+2a,k^2+2ak）,交点可以是同侧,也可以是异侧
当两交点同侧时,k<0,当两交点异侧时,k>0
那么
对所围面积积分S=∫dx·∫dy=（9/2)a^3
其中y的上下限为kx,x^2-2ax,x的上下限为0,k+2a, 或
y的上下限为kx,x^2-2ax,x的上下限为k+2a,0,
那么由分步积分法有
S=∫dx·（kx-x^2+2ax）
S=(1/2)kx^2-(1/3)x^3+ax^2
当x的上下限是0,k+2a时
S=0-（1/2）·k·（k+2a）^2+(1/3)（k+2a）^2-a(k+2a)^2=（9/2)a^3
解得
k=-5a
当x的上下限是k+2a,0时
S=（1/2）·k·（k+2a）^2-(1/3)（k+2a）^2+a(k+2a)^2=（9/2)a^3
解得
k=a
那么直线方程为
y=ak或y=-ak
设直线方程为 y=kx
由x^2-2ax=kx得 直线与抛物线的交点为 0 k+2a
∫(kx-x^2+2ax)dx=(9/2)a^3 积分范围为 0 到 k+2a
即(1/2)kx^2-(1/3)x^3+ax^2=(9/2)a^3 其中X=k+2a
得k=a
可设直线为Y=bx,与y=x^2-2ax交点为原点和（2a+b,2ab+b^2）,从而对函数bx-x^2+2ax从0到2a+b求定积分，最后解得：(b+2a)/2*x^2-x^3从0累加到（2a+b）,得：（2a+b）^3/6=（9/2)a^3,可得（2a+b）^3=27a^3，从而b=a做太快了。不知道错了没，不过方法就这样的