求证明：方程e^x+1=4^x至少有一个小于1的正根

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/29 06:26:37

求证明：方程e^x+1=4^x至少有一个小于1的正根
求证明：方程e^x+1=4^x至少有一个小于1的正根

求证明：方程e^x+1=4^x至少有一个小于1的正根
设 f(x)=e^x +1-4^x,
f(0)=1+1-1=1>0,f(1)=e+1-4=e-3

令f(x)=4^x-e^x-1
利用零点法
f(1)=4-e-1=3-e>0
f(0)=1-1-1=-1<0
∴f(0)f(1)<0
∴在（0,1）上至少有一根
∴方程e^x+1=4^x至少有一个小于1的正根

f(x)=e^x+1-4^x
f(0)=1+1-1=1>0
f(1)=e+1-4<0
所以f(x)=e^x+1-4^x在（0 1）有0点即至少有一个小于1的正根

构造两个函数
f(x)=e^x+1
g(x)=4^x
画出图像
当x=1时
f(1)=e+1≈3.7
g(1)=4
g(1)＞f(1)
当x=0时
f(0)=2
g(0)=1
f(0)＞g(0)
∵两函数图像都是连续的
∴在区间(0,1)内必有以交点
即方程e^x+1=4^x至少有一个小...

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构造两个函数
f(x)=e^x+1
g(x)=4^x
画出图像
当x=1时
f(1)=e+1≈3.7
g(1)=4
g(1)＞f(1)
当x=0时
f(0)=2
g(0)=1
f(0)＞g(0)
∵两函数图像都是连续的
∴在区间(0,1)内必有以交点
即方程e^x+1=4^x至少有一个小于1的正根
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