作业帮一道有点难的函数题已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=2^x,若不等式af(x)+g(x)≥0对x在﹙0,1]上恒成立,求实数a的取值范围.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/11 02:51:04
![一道有点难的函数题已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=2^x,若不等式af(x)+g(x)≥0对x在﹙0,1]上恒成立,求实数a的取值范围.](/uploads/image/z/6513829-61-9.jpg?t=%E4%B8%80%E9%81%93%E6%9C%89%E7%82%B9%E9%9A%BE%E7%9A%84%E5%87%BD%E6%95%B0%E9%A2%98%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E5%AE%9A%E4%B9%89%E5%9C%A8R%E4%B8%8A%E7%9A%84%E5%A5%87%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%E5%92%8C%E5%81%B6%E5%87%BD%E6%95%B0g%28x%29%E6%BB%A1%E8%B6%B3f%28x%29%2Bg%28x%29%3D2%5Ex%2C%E8%8B%A5%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8Faf%28x%29%2Bg%28x%29%E2%89%A50%E5%AF%B9x%E5%9C%A8%EF%B9%990%2C1%5D%E4%B8%8A%E6%81%92%E6%88%90%E7%AB%8B%2C%E6%B1%82%E5%AE%9E%E6%95%B0a%E7%9A%84%E5%8F%96%E5%80%BC%E8%8C%83%E5%9B%B4.)
一道有点难的函数题已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=2^x,若不等式af(x)+g(x)≥0对x在﹙0,1]上恒成立,求实数a的取值范围.
一道有点难的函数题
已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=2^x,若不等式af(x)+g(x)≥0对x在﹙0,1]上恒成立,求实数a的取值范围.
一道有点难的函数题已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=2^x,若不等式af(x)+g(x)≥0对x在﹙0,1]上恒成立,求实数a的取值范围.
f(x)+g(x)=2^x.(1)
f(-x)+g(-x)=2^(-x)
-f(x)+g(x)=2^(-x).(2)
(1)(2)：得到
2f(x)=2^x-2^(-x)
2g(x)=2^x+2^(-x)
af(x)+g(x)≥0
a[2^x-2^(-x)]+2^x+2^(-x)>=0
(a+1)2^x+(1-a)/2^x>=0.(3),x∈（0,1],2^x∈(1,2],(3)×2^x
(a+1)[2^x]^2+(1-a)>=0,令t=2^x∈(1,2],
f(t)=(a+1)t^2+(1-a)>=0,对于t∈(1,2],恒成立
（1）如果：a=-1,f(t)=2>0,满足题意
（2）如果：a>-1,则函数f(t)开口向上,f(t)>f(1)=a+1+1-a=2>0满足题意
（3）如果：a=f(2)=4(a+1)+(1-a)>=0,a>=-5/3
综上所述：a>=-5/3
f(x)+g(x)=2^x，f(x)和g(x)的定义域都为R，所以f(-x)+g(-x)=2^(-x)，又f(x)和g(x)分别是奇函数和偶函数，故有-f(x)+g(x)=2^(-x)，从而有f(x)=2^(x-1)-2^(-x-1)，g(x)=2^(x-1)+2^(-x-1)。
af(x)+g(x)=(a+1)*2^(x-1)+(1-a)*2^(-x-1)≥0 <=> (a+1)*2^(...
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f(x)+g(x)=2^x，f(x)和g(x)的定义域都为R，所以f(-x)+g(-x)=2^(-x)，又f(x)和g(x)分别是奇函数和偶函数，故有-f(x)+g(x)=2^(-x)，从而有f(x)=2^(x-1)-2^(-x-1)，g(x)=2^(x-1)+2^(-x-1)。
af(x)+g(x)=(a+1)*2^(x-1)+(1-a)*2^(-x-1)≥0 <=> (a+1)*2^(x-1)≥(a-1)*2^(-x-1) <=> (a+1)*4^x≥a-1，若a+1≥0，即a≥-1，则(a+1)*4^x>a+1>a-1，其中x在(0，1]上，上述不等式成立。
若a+1<0，即a<-1，则(a-1)/(a+1)≥4^x，由于x在(0，1]上，所以4^x≥4，因而根据题意必须有
(a-1)/(a+1)≥4 => -1>a≥-5/3
综上，实数a的取值范围是[-5/3，∞）。
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