设a1,a2…an是1,2…,n的任意一个排列,n为奇数,试证(a1-1)(a2-2)(a3-3)...(an-n)为偶数
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/13 13:54:21
设a1,a2…an是1,2…,n的任意一个排列,n为奇数,试证(a1-1)(a2-2)(a3-3)...(an-n)为偶数
设a1,a2…an是1,2…,n的任意一个排列,n为奇数,试证(a1-1)(a2-2)(a3-3)...(an-n)为偶数
设a1,a2…an是1,2…,n的任意一个排列,n为奇数,试证(a1-1)(a2-2)(a3-3)...(an-n)为偶数
当 (a1-1)(a2-2)(a3-3)...(an-n)为奇数时,(a1-1),(a2-2),(a3-3),...,(an-n)各项为奇数
奇-偶为奇
偶-偶为偶
偶-奇为奇
1,2…,n里有(n-1)/2+1个奇数,(n-1)/2个偶数
令(a1-1)(a2-2)(a3-3)...(an-n)为奇数则需要(n-1)/2+1个偶数,(n-1)/2个奇数
所以不可为奇数
所以为偶数
用反证法证明
假设(a1-1)(a2-2)(a3-3)...(an-n)为奇数,那么乘积的每一项(a1-1)、(a2-2)、(a3-3)...(an-n)都要是奇数。所以每一项都必须是奇数减偶数,偶数减奇数。那么数列中奇数和偶数的数量应该相同。这样n就会是偶数,与设定矛盾。所以(a1-1)(a2-2)(a3-3)...(an-n)应该为偶数...
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用反证法证明
假设(a1-1)(a2-2)(a3-3)...(an-n)为奇数,那么乘积的每一项(a1-1)、(a2-2)、(a3-3)...(an-n)都要是奇数。所以每一项都必须是奇数减偶数,偶数减奇数。那么数列中奇数和偶数的数量应该相同。这样n就会是偶数,与设定矛盾。所以(a1-1)(a2-2)(a3-3)...(an-n)应该为偶数
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