已知f(x)是定义在R上的增函数,设F(x)=f(x)-f(a-x),用函数单调性定义证明F(x)是R上的增函数.

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/28 23:22:39

已知f(x)是定义在R上的增函数,设F(x)=f(x)-f(a-x),用函数单调性定义证明F(x)是R上的增函数.
已知f(x)是定义在R上的增函数,设F(x)=f(x)-f(a-x),用函数单调性定义证明F(x)是R上的增函数.

已知f(x)是定义在R上的增函数,设F(x)=f(x)-f(a-x),用函数单调性定义证明F(x)是R上的增函数.
证明；
设x1F(x1)-F(x2)
=f(x1)-f(a-x1)-[f(x2)-f(a-x2)]
=f(x1)-f(x2)+f(a-x2)-f(a-x1)
又,f(x)是定义在R上的增函数,
f(x1)＜f(x2)
即是,f(x1)-f(x2)＜0
x1∴a-x1>a-x2
f(a-x1)＞f(a-x2)
即是,f(a-x2)-f(a-x1)<0
∴f(x1)-f(x2)+f(a-x2)-f(a-x1)＜0
∴F(x1)-F(x2)＜0
因此,F(x)在定义R上是增函数.

设x因为f(x)为增函数所以f(x)因为xa-x'
所以 [f(a-x)-f(a-x')]>0
所以F(x)-F(x')<0
所以F(x)为增函数

设x1F（x1)-F（x2）=f(x1)-f(a-x1)-f(x2)+f(a-x2)
=[f(x1)-f(x2)]-[f(a-x1)-f(a-x2)]
又因为：f(X)在定义R上为增函数，且x1所以：f(x1)-f(x2)<0,且a-x1>a-x2
因为a-x1>a...

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设x1F（x1)-F（x2）=f(x1)-f(a-x1)-f(x2)+f(a-x2)
=[f(x1)-f(x2)]-[f(a-x1)-f(a-x2)]
又因为：f(X)在定义R上为增函数，且x1所以：f(x1)-f(x2)<0,且a-x1>a-x2
因为a-x1>a-x2
所以：f(a-x1)-f(a-x2)>0
所以：F(x1)-F(x2)<0(负数减正数）
所以：F(x)随着x的增大而增大，即F(x)在R上为增函数

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