已知矩阵A的特征值为入,求A的平方的特征值.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/11 21:13:26
已知矩阵A的特征值为入,求A的平方的特征值.
已知矩阵A的特征值为入,求A的平方的特征值.
已知矩阵A的特征值为入,求A的平方的特征值.
题:已知矩阵A的特征值为k,求A的平方的特征值.
由以下命题3知,上题答案为k^2.
以下摘自我的某个答题,未加改动.
命题3:(证明见后)
若方阵A有特征值k,对应于特征向量ξ,当f(A)为A的幂级数(允许负幂和形式幂级数)时,f(A)的有对应于ξ的特征值f(k).
注释:以下命题1,2是为证明命题3.
命题1:k为矩阵A的非零特征值,则k的负一次幂是A逆的特征值对吗?
答:在前提A可逆之下,此命题成立.否则,视A逆为广义逆,估计也成立,我未加严格论证.
我们这里设A可逆.
命题1证明如下:
设方阵A有特征值k,对应于特征向量ξ,即有Aξ=kξ,故Eξ=A^(-1)*kξ,故A^(-1)*ξ=1/k * ξ
命题一得证.
命题2:方阵A有特征值k,对应于特征向量ξ,f(A)是关于A的多项式,则:
f(A)的有对应于ξ的特征值f(k).
命题2之证明:设A的特征值k对应于特征向量ξ,即有Aξ=kξ
故AAξ=kAξ=k*kξ,递推得 A^nξ=k^nξ
同理 f(A)ξ=f(k)ξ.得征.
依命题1,命题2,有命题3:
若方阵A有特征值k,对应于特征向量ξ,当f(A)为A的幂级数(允许负幂和形式幂级数)时,f(A)的有对应于ξ的特征值f(k).
已知矩阵A的特征值为入,求A的平方的特征值.
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