请证明不等式:(a1+a2+...+an)^2/(a1*b1+a2*b2+...+an*bn)
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/07 21:44:24
请证明不等式:(a1+a2+...+an)^2/(a1*b1+a2*b2+...+an*bn)
请证明不等式:
(a1+a2+...+an)^2/(a1*b1+a2*b2+...+an*bn)
请证明不等式:(a1+a2+...+an)^2/(a1*b1+a2*b2+...+an*bn)
题目不严谨,需要交代ai*bi>0,即ai、bi同号,题目只告诉了同为递减数列;
不然只能证明
(a1/b1+a2/b2+...+an/bn)*/(a1*b1+a2*b2+...+an*bn)≥(a1+a2+...+an)^2
柯西不等式:
(a1/b1+a2/b2+...+an/bn)*(a1*b1+a2*b2+...+an*bn)
≥ {(a1/b1)*(a1b1)]^1/2+...+[(an/bn)*(an*bn)]^1/2}^2
=(a1+a2+...+an)^2
具体如下:
(a1/b1+a2/b2+...+an/bn)*/(a1*b1+a2*b2+...+an*bn)
= (a1)^2+(a2)^2+...+(an)^2+a1a2*(b2/b1+b1/b2)+a2a3(b3/b2+b2/b3)+...+an-1an(bn/bn-1 + bn-1/bn)
≥ (a1)^2+(a2)^2+...+(an)^2 + 2a1a2+2a2a3+...+an-1an
=(a1+a2+a3+...+an)^2
即(a1+a2+a3+...+an)^2 / (a1*b1+a2*b2+...+an*bn)≤ a1/b1+a2/b2+...+an/bn
LS的,貌似没说ai,bi>0,分母不能直接乘过去。。。
这个不就是用柯西不等式嘛
(a1/b1+a2/b2+...+an/bn)(a1*b1+a2*b2+...+an*bn)>=(((a1/b1)*(a1*b1))^1/2+...+((an/bn)*(an*bn))^1/2)^2=(a1+a2+...+an)^2
总觉得有问题,不过对于正数列an和bn,
可以用数学归纳法证明,下面步骤不是严格的
n=2时,(a1*b1+a2*b2)(a1/b1+a2/b2)=a1²+a2²+a1a2(b1\b2+b2/b1)≥a1²+a2²+2a1a2=(a1+a2)²,即可证明n=2时不等式成立。
假如n=k时成立,则n=k+1时
[a1*...
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总觉得有问题,不过对于正数列an和bn,
可以用数学归纳法证明,下面步骤不是严格的
n=2时,(a1*b1+a2*b2)(a1/b1+a2/b2)=a1²+a2²+a1a2(b1\b2+b2/b1)≥a1²+a2²+2a1a2=(a1+a2)²,即可证明n=2时不等式成立。
假如n=k时成立,则n=k+1时
[a1*b1+a2*b2+...+ak*bk+(ak+1)(bk+1)][a1/b1+a2/b2+...+ak/bk+(ak+1)/(bk+1)]
=(a1*b1+a2*b2+...+ak*bk)(a1/b1+a2/b2+...+ak/bk)+(ak+1)(bk+1))(a1/b1+a2/b2+...+ak/bk)+(ak+1)/(bk+1)(a1*b1+a2*b2+...+ak*bk)+(ak+1)²
≥(a1+a2+...+ak)²+(ak+1)²+(ak+1)[a1(bk+1/b1+b1/bk+1)+a2(bk+1/b2+b2/bk+1)+……ak(bk/bk+1 + bk+1/bk)
≥(a1+a2+...+ak)²+(ak+1)²+2(ak+1)(a1+a2+...+ak)
=(a1+a2+...+ak + ak+1)²
所以n=k+1时也成立
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写的不明白,没看懂~
数学归纳法, 当n=2时成立 ,然后假设n=n时成立,证明n=n+1成立
设a1+....an=A, a1b1+...anbn=B, a1/b1+...an/bn=C
所以A^2<=BC
现在要证明 (A+a(n+1))^2<=(B+a(n+1)b(n+1))(C+a(n+1)/b(n+1))
整理消去得 2A我们现在分...
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数学归纳法, 当n=2时成立 ,然后假设n=n时成立,证明n=n+1成立
设a1+....an=A, a1b1+...anbn=B, a1/b1+...an/bn=C
所以A^2<=BC
现在要证明 (A+a(n+1))^2<=(B+a(n+1)b(n+1))(C+a(n+1)/b(n+1))
整理消去得 2A我们现在分析数列的一小部分 2an 和 anbn/b(n+1)+anb(n+1)/bn
易证左式小于等于右式
所以成立
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柯西不等式直接出结果吧
可以用数学归纳法证明,
n=2时,(a1*b1+a2*b2)(a1/b1+a2/b2)=a1²+a2²+a1a2(b1\b2+b2/b1)≥a1²+a2²+2a1a2=(a1+a2)²,即可证明n=2时不等式成立。
假如n=k时成立,则n=k+1时
[a1*b1+a2*b2+...+ak*bk+(ak+1)(bk+1)][a...
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可以用数学归纳法证明,
n=2时,(a1*b1+a2*b2)(a1/b1+a2/b2)=a1²+a2²+a1a2(b1\b2+b2/b1)≥a1²+a2²+2a1a2=(a1+a2)²,即可证明n=2时不等式成立。
假如n=k时成立,则n=k+1时
[a1*b1+a2*b2+...+ak*bk+(ak+1)(bk+1)][a1/b1+a2/b2+...+ak/bk+(ak+1)/(bk+1)]
=(a1*b1+a2*b2+...+ak*bk)(a1/b1+a2/b2+...+ak/bk)+(ak+1)(bk+1))(a1/b1+a2/b2+...+ak/bk)+(ak+1)/(bk+1)(a1*b1+a2*b2+...+ak*bk)+(ak+1)²
≥(a1+a2+...+ak)²+(ak+1)²+(ak+1)[a1(bk+1/b1+b1/bk+1)+a2(bk+1/b2+b2/bk+1)+……ak(bk/bk+1 + bk+1/bk)
≥(a1+a2+...+ak)²+(ak+1)²+2(ak+1)(a1+a2+...+ak)
=(a1+a2+...+ak + ak+1)²
所以n=k+1时也成立
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