作业帮正整数xyz,xyz=(14-x)(14-y)(14-z)且x+y+z小于28,求x^2+y^2+z^2的最小值这是复旦附中自招考的题目,
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 10:04:44
正整数xyz,xyz=(14-x)(14-y)(14-z)且x+y+z小于28,求x^2+y^2+z^2的最小值这是复旦附中自招考的题目,
正整数xyz,xyz=(14-x)(14-y)(14-z)且x+y+z小于28,求x^2+y^2+z^2的最小值
这是复旦附中自招考的题目,
正整数xyz,xyz=(14-x)(14-y)(14-z)且x+y+z小于28,求x^2+y^2+z^2的最小值这是复旦附中自招考的题目,
∵x、y、z都是正整数,∴xyz是正整数,
∴xyz＝（14－x）（14－y）（14－z）＞0,
∴（14－x）、（14－y）、（14－z）都是正整数；或一者是正整数、另两者是负整数.
现在证明：（14－x）、（14－y）、（14－z）都是正整数.
假设（14－x）、（14－y）、（14－z）不全是正整数,则：必有两者是负整数.
不失一般性地设（14－y）、（14－z）是负整数,则有：y＞14、z＞14,∴y＋z＞28.
∵x、y、z都是正整数,∴x＋y＋z＞y＋z＞28.这与给定的条件：x＋y＋z＜28相矛盾.
∴（14－x）、（14－y）、（14－z）不全是正整数的假设是错误的.
∴（14－x）、（14－y）、（14－z）都是正整数.
∵（14－x）、（14－y）、（14－z）都是正整数,∴x、y、z都是小于14的正整数.
∵xyz
＝（14－x）（14－y）（14－z）＝（14^2－14x－14y＋xy）（14－z）
＝14^3－14^2z－14^2x＋14xz－14^2y＋14yz＋14xy－xyz,
∴2xyz＝14^3－14^2z－14^2x＋14xz－14^2y＋14yz＋14xy,
∴xyz＝7（14^2－14z－14x＋xz－14y＋yz＋xy）.
∴xyz是7的倍数,∴x、y、z中有一者是7的倍数,而x、y、z都小于14,∴x、y、z中有一者为7.
不失一般性地令z＝7.则：
7xy＝7（14^2－14×7－14x＋7x－14y＋7y＋xy）,
∴xy＝14^2－14×7－14x＋7x－14y＋7y＋xy,∴7（x＋y）＝14^2－14×7,
∴x＋y＝14×2－14＝14,∴x＋y≧2√（xy）,∴14^2≧4xy,∴－2xy≧－14×7＝－98.
于是：
x^2＋y^2＋z^2
＝（x＋y）^2－2xy＋7^2＝14^2－2xy＋49≧196－98＋49＝147.
∴（x^2＋y^2＋z^2）的最小值是147.