圆O的直径AB与弦CD垂直,F为CD延长线上一点,连AF交圆O与E点,求证AC方=AE*AF

圆O的直径AB与弦CD垂直,F为CD延长线上一点,连AF交圆O与E点,求证AC方=AE*AF
圆O的直径AB与弦CD垂直,F为CD延长线上一点,连AF交圆O与E点,求证AC方=AE*AF

圆O的直径AB与弦CD垂直,F为CD延长线上一点,连AF交圆O与E点,求证AC方=AE*AF
连接EC 同弧所对角相等即可

连结AD,CE
根据垂经定理,OB垂直与CD且过圆心O,OB平分弦CD
因为OB垂直与CD且过圆心O,OB平分弦CD
所以AD=AC
角ACD=角ADC
因为同弧所对圆周角相等
所以角AEC=角ADC=角ACD
因为角CAF=角CAF
所以三角形AEC相似于三角形ACF
有AC/AF=AE/AC
AC^2=AE*AF...

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连结AD,CE
根据垂经定理,OB垂直与CD且过圆心O,OB平分弦CD
因为OB垂直与CD且过圆心O,OB平分弦CD
所以AD=AC
角ACD=角ADC
因为同弧所对圆周角相等
所以角AEC=角ADC=角ACD
因为角CAF=角CAF
所以三角形AEC相似于三角形ACF
有AC/AF=AE/AC
AC^2=AE*AF

收起

已知AB垂直CD，可知AC=AD，所以要证AC^2=AE*AF即要证AD^2=AE*AF
即要证明三角形AED与三角形ADF相似,
已经知道角EAD=角DAF
因为四边形ACDE是圆内接四边形，所以有角ACD+AED=180
又AC=AD，所以角ACD=角ADC
而角ADC+ADF=180
所以角AED=角ADF
又角EAD=角DAF

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已知AB垂直CD，可知AC=AD，所以要证AC^2=AE*AF即要证AD^2=AE*AF
即要证明三角形AED与三角形ADF相似,
已经知道角EAD=角DAF
因为四边形ACDE是圆内接四边形，所以有角ACD+AED=180
又AC=AD，所以角ACD=角ADC
而角ADC+ADF=180
所以角AED=角ADF
又角EAD=角DAF
所以三角形AED与三角形ADF相似
得证！

收起

设CD交AB于0
角BEF=角BOF=90°，故B,O,E,F四点共圆
则角AOE=角EFB
则△AEO和△ABF中，角OAE=角FAB,角AOE=角AFB
所以△AEO相似于△ABF
所以AE/AB=AO/AF
即AE*AF=AO*AB
又，由射影定理，AC^2=AO*AB
故AC方=AE*AF

╭( ▔o▔)╯ 希望采纳，谢谢啊！缘分啊 ╰(▔o▔ )╮
法1
弧AD=弧AC(垂径定理)
所以
∠FCA=∠CEA(等弧所对圆周角相等)
△CAE相似△FAC
所以
AC/AF=AE/AC
AC^2=AE*AF
法2
AB交CD于K
显然KC=KD
AC=AD
切...

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╭( ▔o▔)╯ 希望采纳，谢谢啊！缘分啊 ╰(▔o▔ )╮
法1
弧AD=弧AC(垂径定理)
所以
∠FCA=∠CEA(等弧所对圆周角相等)
△CAE相似△FAC
所以
AC/AF=AE/AC
AC^2=AE*AF
法2
AB交CD于K
显然KC=KD
AC=AD
切割线定理
FA*FE=FC*FD＝(FK+KC)(FK-KC)=FK^2-CK^2=AF^2-AK^2-CK^2
AC^2=AK^2+KC^2
所以
FA*FE＝AF^2-AK^2-CK^2＝AF^2-AC^2=(AE+EF)AF-AC^2
=AE*AF+EF*AF-AC^2
AC^2=AE*AF

收起

OF=1,CD=4倍根号2
因为：
AB=AE+BE=6
OA=3
OE=OA-AE=2
角AEC=30度
所以，OF=1/2*OE=1
CF^2=OC^2-OE^2=3^2-1^2=8
CF=2倍根号2
CD=2*CF=4倍根号2

连接AD、CE
则角ADC=角AEC(同弦对圆周角)
又角ADC=角ACD(AC=AD)
且角CAE=角FAC(同角)
所以三角形CAE与FAC相似
故可知结论

尝试用角坐标系和向量可以让思路更清晰，最好多用建立坐标系求解几何问题
以AB为X轴，CD为Y轴，建立直角坐标系
以圆的半径为单位（也就是 假设圆的半径是单位1）
所以：圆的方程为 X方+Y方=1
A(-1,0),B(1,0),C(0,1),D(0,-1)
设点E(a,b),点F(0,c)
向量AC=(1,1) 所以 |AC|方=2
向量AF=...

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尝试用角坐标系和向量可以让思路更清晰，最好多用建立坐标系求解几何问题
以AB为X轴，CD为Y轴，建立直角坐标系
以圆的半径为单位（也就是 假设圆的半径是单位1）
所以：圆的方程为 X方+Y方=1
A(-1,0),B(1,0),C(0,1),D(0,-1)
设点E(a,b),点F(0,c)
向量AC=(1,1) 所以 |AC|方=2
向量AF=(-1,-c),AE=(-1-a,-b)
|AF||AE|=AF*AE=a+1+bc (因为A E F共线)
E点在圆上———方程1
因为AE与AF共线，所以存在K（大于0）
向量AE=K*向量AF——a=k-1 b=kc
带入方程1----k(c+1)=2
所以 |AF||AE|=AF*AE=a+1+bc=kc+k=2
所以AC^2=AE*AF

收起

连一下CE,因为都对着AC弧，角ADC=角AEC，又有一个公角CAE，所以相似，推出结果。

要证AC方=AE*AF,也就是要证△EAC∽△CAF;
要证△EAC∽△CAF,只要证∠CEA=∠FCA;
要证∠CEA=∠FCA;只要证弧AC=弧AD;
∵直径AB与弦CD垂直,根据垂经定理可得证.

设CD交AB于0
角BEF=角BOF=90°
所以B,O,E,F四点在同一个圆上
则角AOE=角EFB
则△AEO和△ABF中，角OAE=角FAB,角AOE=角AFB
所以△AEO相似于△ABF
所以AE/AB=AO/AF
即AE*AF=AO*AB
由射影定理，AC^2=AO*AB
故AC方=AE*AF

楼上几位兄台的回答都很正确，
解这道题的关键是应用相似定理去解