数学一道填空题求详解.若双曲线X^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0.b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,离心率为e,过点F2的直线与双曲线的右支相交于A,B两点,若三角形F1AB是以点A为直角顶点的等腰直角三角形,则e^2=______

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 12:37:48
数学一道填空题求详解.若双曲线X^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0.b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,离心率为e,过点F2的直线与双曲线的右支相交于A,B两点,若三角形F1AB是以点A为直角顶点的等腰直角三角形,则e^2=______

数学一道填空题求详解.若双曲线X^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0.b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,离心率为e,过点F2的直线与双曲线的右支相交于A,B两点,若三角形F1AB是以点A为直角顶点的等腰直角三角形,则e^2=______
数学一道填空题求详解.
若双曲线X^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0.b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,离心率为e,过点F2的直线与双曲线的右支相交于A,B两点,若三角形F1AB是以点A为直角顶点的等腰直角三角形,则e^2=______________

数学一道填空题求详解.若双曲线X^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0.b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,离心率为e,过点F2的直线与双曲线的右支相交于A,B两点,若三角形F1AB是以点A为直角顶点的等腰直角三角形,则e^2=______
由题,△F1AB为等腰直角三角形,A为直角顶点
则,设AF1＝AB＝m
BF1＝√2m
由双曲线的性质可得
AF2＝AF1－2a＝m－2a
BF2＝BF1－2a＝√2m－2a
则,AB＝AF2＋BF2＝(1＋√2)m－4a
又,AB＝m
所以,(1＋√2)m－4a＝m
即,4a＝√2m
所以,16a²＝2m²
△F1AF2为Rt△
F1F2＝2c
F1A＝m
F2A＝m－2a＝(1－√2/2)m
由勾股定理,F1F2²＝F1A²＋F2A²
则,(2c)²＝m²＋(3/2－√2)m²
即,4c²＝(5/2－√2)m²
所以,16c²＝(10－4√2)m²
e²＝c²/a²
＝(16c²)/(16a²)
＝(10－4√2)/2
＝5－2√2

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