作业帮当圆内接三角形的周长为定值时,什么形状的三角形面积最大?此时面积与周长的关系如何?急 可别错过啊！
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 07:46:54
当圆内接三角形的周长为定值时,什么形状的三角形面积最大?此时面积与周长的关系如何?急 可别错过啊！
当圆内接三角形的周长为定值时,什么形状的三角形面积最大?此时面积与周长的关系如何?
急 可别错过啊！
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先引入两个命题
1.著名的海伦公式：
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 公式里的p为半周长：p=(a+b+c)/2
海伦公式证明：
cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab
S=1/2*ab*sinC
=1/2*ab*√(1-cos^2 C)
=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]
=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]
=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]
=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]
=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]
设p=(a+b+c)/2
则p=(a+b+c)/2,
p-a=(-a+b+c)/2,
p-b=(a-b+c)/2,
p-c=(a+b-c)/2,
上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]
=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
所以,三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
2.基本不等式
a+b+c≥3(abc)^(1/3) (x^(1/3)就是三次根号下x)
等号当且仅当a=b=c是成立
下面针对您的问题
首先p是固定的
只要求(p-a)(p-b)(p-c)的最大值即可
由基本不等式
得(p-a)(p-b)(p-c)≤[(p-a+p-b+p-c)/3]^3
即(p-a)(p-b)(p-c)≤p^3/27
故S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]≤p^2/3√3
最大面积当且仅当三角形为等边三角形成立
等腰三角形
用海伦公式和基本不等式就可以直接一步得出来，就是当是等边三角形的时候最大（如果是像这类的填空题，以我多年的经验，直接就猜是等边三角形99%都不会错，这种题绝对不会再正规考试中作为计算或者证明题出现的），谢谢，忘采纳