作业帮已知三角形ABC的周长为1+√2,且sinA+sinB=√2 sinC(1)求边AB的长（2）若三角形ABC的面积为1/6sinC,求角C的度数
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 06:44:09
已知三角形ABC的周长为1+√2,且sinA+sinB=√2 sinC(1)求边AB的长（2）若三角形ABC的面积为1/6sinC,求角C的度数
已知三角形ABC的周长为1+√2,且sinA+sinB=√2 sinC
(1)求边AB的长
（2）若三角形ABC的面积为1/6sinC,求角C的度数
已知三角形ABC的周长为1+√2,且sinA+sinB=√2 sinC(1)求边AB的长（2）若三角形ABC的面积为1/6sinC,求角C的度数
由正弦定理
a/sinA=b/sinB=c/sinC
令a/sinA=b/sinB=c/sinC=1/k
所以sinA=ak,sinB=bk,sinC=ck
sinA+sinB=√2 sinC
a+b=√2c
周长=a+b+c=1+√2
所以√2c+c=1+√2
c=1
S=ab(sinC)/2=1/6sinC
ab=1/3
a+b=√2c
a^2+2ab+b^2=2c^2
所以a^2+b^2=2c^2-2ab=2-2/3=4/3
所以 cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=(4/3-1)/(2*1/3)=1/2
所以C=60度
正玄公式 a/sinA=b/sinB=c/sinC=k (k为变量)
三角形面积公式 S=1/2absinC
1,所以有sinA=a/k,sinB=b/k,sinC=c/k （c就是角C对应的AB线段）
因为sinA+sinB=√2 sinC ,所以有 a/k+b/k=√2(c/k)
得 a+b=√2c
因为ABC周长的 1+√2，...
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正玄公式 a/sinA=b/sinB=c/sinC=k (k为变量)
三角形面积公式 S=1/2absinC
1,所以有sinA=a/k,sinB=b/k,sinC=c/k （c就是角C对应的AB线段）
因为sinA+sinB=√2 sinC ,所以有 a/k+b/k=√2(c/k)
得 a+b=√2c
因为ABC周长的 1+√2，所以有a+b+c=1+√2
所有有√2c+c=1+√2c 解得c=1 即线段AB=1
2,根据三角形面积公式可得ab=1/3 又意味a+b=√2(根据1求得的)
所以(a+b)^2=a^2+b^2+2ab=a^2+b^2+2/3=2 所以a^2+b^2=4/3
根据余玄定理 cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab =(4/3-1)/(2/3)=1/2
所以C=60
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