作业帮求方程组X+Y+Z=3 与 X的3次方+Y的3次方+Z的3次方=3的所有整数解注意第2个是3次方 速求!
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/11 15:39:44
求方程组X+Y+Z=3 与 X的3次方+Y的3次方+Z的3次方=3的所有整数解注意第2个是3次方 速求!
求方程组X+Y+Z=3 与 X的3次方+Y的3次方+Z的3次方=3的所有整数解
注意第2个是3次方 速求!
求方程组X+Y+Z=3 与 X的3次方+Y的3次方+Z的3次方=3的所有整数解注意第2个是3次方 速求!
将z=3-(x+y) 代入x^3+y^3+z^3=3 得：(x+y) ^3-3xy(x+y)+[3-(x+y)] ^3=3
令x+y=m ,xy=n 则m ^2>4n ,代入上式化简得：3m^2 –(9+n)m+8=0
解之：m={(9+n)±√[(9+n) ^2 -96]} /6
∵x,y为整数,∴m,n 也为整数,可令（9+n）^2 -96=k^2 (k为正整数)
即（n+9+k）（n+9-k）=96=3•2^5
令整数a ,b满足a>b 且 ab=96=3•2^5=（n+9+k）（n+9-k）
则n=(a+b)/2 -9 ,k=(a-b)/2 有96=2•48=3•32=4•24=8•12
故
a+b 50 28 22 20 -20 -22 -28 -50
a-b 46 20 10 4 4 10 20 46
则
n 16 5 2 1 -19 -20 -23 -34
k 23 10 5 2 2 5 10 23
m 8 4 1 2 -2 -1 -4 -8
由m ^2>4n 排除第②,③组解,由x+y=m ,xy=n 其中x,y为整数可排除第⑤,⑦,⑧组解.
n 16 1 -20
m 8 2 -1
解之可得x,y,z的全部整数解为：
x 4 1 4 -5
y 4 1 -5 4
z -5 1 4 4
注：由于我是在word里面写的,解得数值画有表格,而这里不能显示表格,造成不便请谅解!希望能帮上你!
Z=3-X-Y代入第二个式子
展开化简，得27+9(X+Y)²-3XY(X+Y)-27(X+Y)=3
若X+Y=0，显然不成立
故XY=3(X+Y)-9+ 8/(X+Y)
显然8/(X+Y)为整数
所以X+Y=±1，±2，±4，±8
下面一一讨论
1.当X+Y=1时，XY=2，无解
2.当X+Y=-1时，XY=-20
全部展开
Z=3-X-Y代入第二个式子
展开化简，得27+9(X+Y)²-3XY(X+Y)-27(X+Y)=3
若X+Y=0，显然不成立
故XY=3(X+Y)-9+ 8/(X+Y)
显然8/(X+Y)为整数
所以X+Y=±1，±2，±4，±8
下面一一讨论
1.当X+Y=1时，XY=2，无解
2.当X+Y=-1时，XY=-20
此时X=-5,Y=4,Z=4或X=4,Y=-5,Z=4
3.当X+Y=4时，XY=5,无解
4.当X+Y=-4时，XY=-23，无解
5.当X+Y=2时，XY=1
此时X=Y=1，Z=1
6.当X+Y=-2时，XY=-19，无解
7.当X+Y=8时，XY=16
此时X=Y=4，Z=-5
8.当X+Y=-8时，XY=-34，无解
综上所述，共有四组
X=Y=1，Z=1或X=Y=4，Z=-5 或X=Z=4,Y=-5或X=-5,Y=Z=4
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