设A是n阶实对称矩阵,证明r(A)=r(A^2)

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/28 22:30:01

设A是n阶实对称矩阵,证明r(A)=r(A^2)
设A是n阶实对称矩阵,证明r(A)=r(A^2)

设A是n阶实对称矩阵,证明r(A)=r(A^2)
证明:因为A是实对称矩阵
所以 A 相似于对角矩阵 diag(λ1,λ2,...,λn)
其中 λi 是A的特征值.
因为相似矩阵有相同的秩,
故 r(A) = λ1,λ2,...,λn 中非零数的个数.
由A是实对称矩阵知A^2也是实对称矩阵
且A^2的特征值为 λ1^2,λ2^2,...,λn^2
故A^2相似于对角矩阵 diag(λ1^2,λ2^2,...,λn^2)
且 r(A^2) = λ1^2,λ2^2,...,λn^2 中非零数的个数
= λ1,λ2,...,λn 中非零数的个数
= r(A).

这个只要证明AX=0与A^2X＝0是同解方程组就可以了。

r(A)=r(AA') 又因为 A'=A 故得证。

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