设A为n阶正定矩阵,B为n*m阶矩阵,证明r(BTAB)=r(B) T为上标

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/14 07:50:38

设A为n阶正定矩阵,B为n*m阶矩阵,证明r(BTAB)=r(B) T为上标
设A为n阶正定矩阵,B为n*m阶矩阵,证明r(BTAB)=r(B) T为上标

设A为n阶正定矩阵,B为n*m阶矩阵,证明r(BTAB)=r(B) T为上标
上标一般记为B^T,这里为了简明,用B'表示B的转置.
我们证明线性方程组B'ABX = 0与BX = 0是同解方程组,然后由解空间的维数公式即得结论.
首先BX = 0的解显然是B'ABX = 0的解.
反过来,若X满足B'ABX = 0,则(BX)'A(BX) = X'B'ABX = 0.
而A正定,故由(BX)'A(BX) = 0可得BX = 0,即X也是BX = 0的解.
因此B'ABX = 0与BX = 0同解,解空间维数m-r(B'AB) = m-r(B).
即得r(B'AB) = r(B).

设A为m阶实对称矩阵且正定,B为m×n矩阵,证明:BTAB为正定矩阵的充要条件是rankB=n 设A为m阶正定矩阵,B是m*n实矩阵,且R（B）=n,证明B'AB也是正定矩阵设A为n阶正定矩阵,矩阵B与A相似,则B必为 A,实对称矩阵 B正定矩阵 C可逆矩阵设A为n阶正定矩阵,矩阵B与A相似,则B必为 A,实对称矩阵 B正定矩阵 C可逆矩阵 D正交矩阵设A,A-E都是n阶正定矩阵,证明E-A^-1为正定矩阵设A,B为两个n阶正定矩阵,证明:AB为正定矩阵的充要条件是AB=BA. 设A,B均为n阶正定矩阵,证明kA+lB也是正定矩阵,其中k,l为正数求证!A为n*m实矩阵,证A^TA为m阶正定矩阵证明：A,B均为N阶正定矩阵,则A+B也为正定矩阵设m×n实矩阵A的秩为n,证明：矩阵AtA为正定矩阵. 设A为n阶正定矩阵,B是与A合同的n阶矩阵,证明B也是正定矩阵. 设A为n阶正定矩阵,B为n*m阶矩阵,证明r(BTAB)=r(B) T为上标设A为n阶正定矩阵,B为n*m阶矩阵,证明r(BTAB)=r(B) T为上标设A为n阶正定矩阵,则A^-1也为正定设A,B均是n阶正定矩阵,证明A+B是正定矩阵已知:A为n阶实正定对称矩阵,B为n阶反实对称矩阵证:det(A+B)> 0 设A为n阶正阶正定矩阵,证明A的伴随矩阵A*也是正定矩阵关于正定矩阵的急设A为n阶实对称矩阵证明 B=I+A的平方为正定矩阵设A为n阶正定矩阵,AB为是对称矩阵,则AB为正定矩阵的充要条件是B的特征值都大于零设m×n是矩阵A的秩为n,证明:矩阵A＾TA为正定矩阵