作业帮已知函数f(x)=lgx,求证:对于两个任意不相等的正数x1,x2不等式f(x1)+f(x2)
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/11 04:58:52
已知函数f(x)=lgx,求证:对于两个任意不相等的正数x1,x2不等式f(x1)+f(x2)
已知函数f(x)=lgx,求证:对于两个任意不相等的正数x1,x2不等式f(x1)+f(x2)
已知函数f(x)=lgx,求证:对于两个任意不相等的正数x1,x2不等式f(x1)+f(x2)
f(x1)+f(x2)=lgx1+lgx2=lg(x1*x2)
2f((x1+x2)/2)=2lg[(x1+x2)/2]=lg{[(x1+x2)/2]^}
因为x1,x2都正数,且不等,基本不等式：√(x1x2)<(x1+x2)/2
所以两边平方,(x1x2)<[(x1+x2)/2]^
因为lg是单调递增函数
所以lg(x1*x2)
就是函数的凹凸性
画个图看看凹凸就知道了。
一般的方法就是证明二阶导数的正负号即可，对于初等的简单函数，直接证明也可以
(f(x1)+f(x2))/2=lg sqr(x1x2)
f((x1+x2)/2)=lg (x1+x2)/2
由于lg是递增的只要 x1x2< ((x1+x2)/2)^2就行了
这很明显啊
证明：因为x1,x2不等,所以(x1-x2)^2>0
即x1^2+x2^2>2x1x2
在上式两边同时加上x1x2得x1^2+2x1x2+x2^2>4x1x2
即(x1+x2)^2>4x1x2
即[(x1+x2)/2]^2>x1x2
因为lgx是增函数，所以lg[(x1+x2)/2]^2>lgx1x2
即2lg(x1+x2)/2>lgx1...
全部展开
证明：因为x1,x2不等,所以(x1-x2)^2>0
即x1^2+x2^2>2x1x2
在上式两边同时加上x1x2得x1^2+2x1x2+x2^2>4x1x2
即(x1+x2)^2>4x1x2
即[(x1+x2)/2]^2>x1x2
因为lgx是增函数，所以lg[(x1+x2)/2]^2>lgx1x2
即2lg(x1+x2)/2>lgx1+lgx2
所以2f((x1+x2)/2)>f(x1)+f(x2)
f(x1)+f(x2)<2f((x1+x2)/2)
收起
利用函数凹凸性的定义，自己完成吧
这道题从f(x)是凸函数就可以看出结论了。
但也可以直接代入证明：
即要证 lg(x1x2)<2lg[(x1+x2)/2]
既要证 x1x2<(x1+x2)/2的平方，显然成立
注意x1,x2均大于0
lgx是增函数
f(x1)+f(x2)=f（x1x2）
2f[(x1+x2)/2]= f((（x1+x2）/2)^2)
^2就是平方
要证f(x1)+f(x2)<2f[(x1+x2)/2]
只需证x1x2 < (（x1+x2）/2)^2
打开化简一下就可以了 非常简单
f(x1)+f(x2)=lgx1+lgx2=lg(x1x2)
2f[(x1+x2)/2]=2lg[(x1+x2)/2]=lg[(x1+x2)^2/4]
根据基本不等式：x1+x2>=2根号x1x2
所以(x1+x2)^2/4>=4x1x2/4=x1x2
即 2f[(x1+x2)/2]>=lg(x1x2) =f(x1)+f(x2)
因为只有x1=x2时才能取等号，而这里x1不等于x2,故
f(x1)+f(x2)<2f[(x1+x2)/2]