作业帮高中数列难题已知数列an,bn满足：a1=9/2,2a(下标n+1)-an=6*2^n,bn=an-2^(n+1),那么记数列an,bn的前n项和分别为Sn,Tn,若对任意的nεn＋都有Sn／Tn≦m／bn,求实数m的最小值.高考在即,加油吧
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/12 07:53:25
高中数列难题已知数列an,bn满足：a1=9/2,2a(下标n+1)-an=6*2^n,bn=an-2^(n+1),那么记数列an,bn的前n项和分别为Sn,Tn,若对任意的nεn＋都有Sn／Tn≦m／bn,求实数m的最小值.高考在即,加油吧
高中数列难题
已知数列an,bn满足：a1=9/2,2a(下标n+1)-an=6*2^n,bn=an-2^(n+1),那么记数列an,bn的前n项和分别为Sn,Tn,若对任意的nεn＋都有Sn／Tn≦m／bn,求实数m的最小值.
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高中数列难题已知数列an,bn满足：a1=9/2,2a(下标n+1)-an=6*2^n,bn=an-2^(n+1),那么记数列an,bn的前n项和分别为Sn,Tn,若对任意的nεn＋都有Sn／Tn≦m／bn,求实数m的最小值.高考在即,加油吧
2a(n+1) -an=6×2^n
2a(n+1)=an+6×2^n
2a(n+1)-2×2^(n+2)=an-2^(n+1)
[a(n+1)-2^(n+2)]/[an-2^(n+1)]=1/2,为定值.
a1-2^2=9/2 -4=1/2
数列{an -2^(n+1)}是以1/2为首项,1/2为公比的等比数列.
an -2^(n+1)=1/2ⁿ
an=2^(n+1) +1/2ⁿ
n=1时,a1=2^2 +1/2=9/2,同样满足.
数列{an}的通项公式为an=2^(n+1) +1/2ⁿ.
bn=an-2^(n+1)=2^(n+1)+1/2ⁿ-2^(n+1)=1/2ⁿ
Sn=a1+a2+...+an=2^2+2^3+...+2^(n+1)+1/2^1+1/2^2+...+1/2ⁿ
=4(2ⁿ -1)/(2-1) +(1/2)(1-1/2ⁿ)/(1-1/2)
=2^(n+2) -1/2ⁿ -3
Tn=b1+b2+...+bn=1/2+1/2^2+...+1/2ⁿ=(1/2)(1-1/2ⁿ)/(1-1/2)=1- 1/2ⁿ
Sn/Tn≤m/bn
[2^(n+2) -1/2ⁿ -3]/(1-1/2ⁿ)≤m/(1/2ⁿ)
2^(n+2) -1/2ⁿ -3≤m(2ⁿ -1)
m≥[2^(n+2) -1/2ⁿ -3]/(2ⁿ -1)
m≥[2^(2n+2) -3×2ⁿ -1]/[2^(2n) -2ⁿ]
m≥[4×2^(2n)-4×2ⁿ+2ⁿ -1]/[2^(2n) -2ⁿ]
m≥4+(2ⁿ -1)/[2ⁿ(2ⁿ -1)]
m≥4 +1/2ⁿ
随n增大,2ⁿ递增,1/2ⁿ递减,4+1/2ⁿ递减,因此当n=1时,4+1/2ⁿ有最大值4+1/2=9/2
要对任意正整数n,不等式恒成立,则m≥9/2
m的最小值为9/2.