作业帮三角形ABC中,a,b,c上的高分别为四分之一,五分之一,六分之一,求最大角的正切值.[可用正弦余弦定理等解三角形的公式.]
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 18:14:35
![三角形ABC中,a,b,c上的高分别为四分之一,五分之一,六分之一,求最大角的正切值.[可用正弦余弦定理等解三角形的公式.]](/uploads/image/z/14013266-50-6.jpg?t=%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2ABC%E4%B8%AD%2Ca%2Cb%2Cc%E4%B8%8A%E7%9A%84%E9%AB%98%E5%88%86%E5%88%AB%E4%B8%BA%E5%9B%9B%E5%88%86%E4%B9%8B%E4%B8%80%2C%E4%BA%94%E5%88%86%E4%B9%8B%E4%B8%80%2C%E5%85%AD%E5%88%86%E4%B9%8B%E4%B8%80%2C%E6%B1%82%E6%9C%80%E5%A4%A7%E8%A7%92%E7%9A%84%E6%AD%A3%E5%88%87%E5%80%BC.%5B%E5%8F%AF%E7%94%A8%E6%AD%A3%E5%BC%A6%E4%BD%99%E5%BC%A6%E5%AE%9A%E7%90%86%E7%AD%89%E8%A7%A3%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%E7%9A%84%E5%85%AC%E5%BC%8F.%5D)
三角形ABC中,a,b,c上的高分别为四分之一,五分之一,六分之一,求最大角的正切值.[可用正弦余弦定理等解三角形的公式.]
三角形ABC中,a,b,c上的高分别为四分之一,五分之一,六分之一,求最大角的正切值.[可用正弦余弦定理等解三角形的公式.]
三角形ABC中,a,b,c上的高分别为四分之一,五分之一,六分之一,求最大角的正切值.[可用正弦余弦定理等解三角形的公式.]
依题意,由面积相等得：
1/2*a/4=1/2*b/5=1/2*c/6
a/4=b/5=c/6
设比的每一份为t
a=4t,b=5t,c=6t
最大角为C
根据余弦定理：
cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=(16+25-36)/(2*4*5)=1/8
sinC=√（1-cos²C)=3√7/8
tanC=sinC/cosC=3√7
由△ABC面积关系得：
½×﹙1／4﹚a=½×﹙1／5﹚b=½×﹙1／6﹚c，
∴可以设：a=4k，b=5k，c=6k，
过A点作BC垂线，垂足为D点，则AD=¼，
设BD=x，则CD=4k－x，
由勾股定理得：
AB²－BD²=AD²=AC²－CD²...
全部展开
由△ABC面积关系得：
½×﹙1／4﹚a=½×﹙1／5﹚b=½×﹙1／6﹚c，
∴可以设：a=4k，b=5k，c=6k，
过A点作BC垂线，垂足为D点，则AD=¼，
设BD=x，则CD=4k－x，
由勾股定理得：
AB²－BD²=AD²=AC²－CD²，
∴﹙6k﹚²－x²=﹙5k﹚²－﹙4k－x﹚²，
解得：x=﹙27／8﹚k，
代人﹙6k﹚²－x²=﹙¼﹚²，
解得：k=2√7／105，
∵c=6k，∴∠C最大，
∴tan∠C=AD／DC
=¼／﹙4k－x﹚
=¼／[﹙5／8﹚×﹙2√7／105﹚]
=3√7，
∴最大角的正切值=3√7。
收起