一个关于线性代数的问题,详见问题补充一个方阵乘以一个可逆矩阵 它的秩不变 这个我知道我想问的是,如果不是方阵相乘,比如一个非方阵,乘以一个列满秩（或者行满秩）矩阵 有没有什么相

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/26 19:28:09
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一个关于线性代数的问题,详见问题补充
一个方阵乘以一个可逆矩阵 它的秩不变 这个我知道
我想问的是,如果不是方阵相乘,比如一个非方阵,乘以一个列满秩（或者行满秩）矩阵 有没有什么相关定理.

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若 A 列满秩,则 r(AB) = r(B)
证明:只要证明 ABX=0 与 BX=0 同解即可.
一方面,显然BX=0的解是ABX=0的解.
另一方面,设X1是ABX=0的解,则ABX1=0.
所以 A(BX1)=0
因为 A 列满秩,所以Ax=0只有0解.
所以有 BX1=0.
即X1是BX=0的解.
因此有 r(AB)=r(B).
对应有:若A行满秩,则 r(BA)=r(B)

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