作业帮若方程-x^2+3x-m=3-x在x∈(0,3)内有唯一解,求实数m的取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 14:50:20
若方程-x^2+3x-m=3-x在x∈(0,3)内有唯一解,求实数m的取值范围
若方程-x^2+3x-m=3-x在x∈(0,3)内有唯一解,求实数m的取值范围
若方程-x^2+3x-m=3-x在x∈(0,3)内有唯一解,求实数m的取值范围
分析,
-x²+3x-m=3-x
∴x²-4x+m+3=0
设f(x)=x²-4x+m+3
根据函数图像的性质,
△≧0,
且f(0)*f(3)＜0
解出,-3＜m＜0
另外,当m=1时,
求出x=2,也满足题意,
∴-3＜m
f(x)=-x^2+4x-(m+3)=0
在x∈(0,3)内有唯一解
那么必然有
f(0)*f(3)<0
这是因为必然一头小于0，一头大于0，
如果包含两个解必然f(0),f(3)同号
所以[-(m+3)][-9+12-m-3]<0
m(m+3)<0
-3
-x^2+3x-m=3-x
x^2-4x+m+3=0
x^2-4x+4-4+m+3=0
(x-2)^2=1-m
x=2±√(1-m)
x1=2+√(1-m)，x2=2-√(1-m)
可见，有：x1≥x2，且m≤1…………(1)
因为：在x∈(0，3)有唯一解，
所以：若x1∈(0，3)，则x2∈(-∞，0]，
或者：...
全部展开
-x^2+3x-m=3-x
x^2-4x+m+3=0
x^2-4x+4-4+m+3=0
(x-2)^2=1-m
x=2±√(1-m)
x1=2+√(1-m)，x2=2-√(1-m)
可见，有：x1≥x2，且m≤1…………(1)
因为：在x∈(0，3)有唯一解，
所以：若x1∈(0，3)，则x2∈(-∞，0]，
或者：若x2∈(0，3)，则x1∈[3，∞)，
即：
0＜2+√(1-m)＜3………………(2)
2-√(1-m)≤0……………………(3)
或者：
0＜2-√(1-m)＜3………………(4)
3≤2+√(1-m)……………………(5)
由(2)得：0＜√(1-m)＜1
0＜1-m＜1……………………(6)
解得：0＜m＜1
由(3)得：√(1-m)≥2
1-m≥4
解得：m≤-3………………(7)
(6)与(7)矛盾，舍去。
由(4)得：
0＜√(1-m)＜2
0＜1-m＜4
解得：-3＜m＜1…………(8)
由(5)得：
1≤√(1-m)
1≤1-m
解得：m≤0………………(9)
综合比较(1)、(8)、(9)
有：-3＜m≤0
即：实数m的取值范围是m∈(-3，0]、m=1。
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