作业帮一道数学函数单调性问题函数f(x)=ln 1-x/1+x 在区间（-1,1）上为 递减 函数.求证!我证了是递增的,求导了再让导数大于0怎么都是增的啊,
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 14:14:21
一道数学函数单调性问题函数f(x)=ln 1-x/1+x 在区间（-1,1）上为 递减 函数.求证!我证了是递增的,求导了再让导数大于0怎么都是增的啊,
一道数学函数单调性问题
函数f(x)=ln 1-x/1+x 在区间（-1,1）上为 递减 函数.求证!
我证了是递增的,求导了再让导数大于0怎么都是增的啊,
一道数学函数单调性问题函数f(x)=ln 1-x/1+x 在区间（-1,1）上为 递减 函数.求证!我证了是递增的,求导了再让导数大于0怎么都是增的啊,
主要用公式(lnx)'=1/x和lna/b=lna-lnb
f(x)=ln 1-x/1+x =ln（1-x） - ln（1+x）
f'(x)=（ln（1-x） - ln（1+x））’=-1/(1-x)-1/（1+x)=-2/(1-x^2)
因为x在区间（-1,1）上,那么1-x^2>0
所以f'(x)
取-1
=ln(1-x1)-ln(1+x1)-ln(1-x2)+ln(1+x2)
=ln(1-x1)(1+x2)/(1+x1)(1-x2)
=ln(1+x2-x1-x1x2)/(1+x1-x2-x1x2)
因为(1+x2-x1-x1x2)/(1+x1-x2-x1x2)》1，所以f(x1)-f(x2)》0
所以f(x)在区间上为递减函数
由于是复合函数要是1-x/1+x是单增的话，f(x)=ln 1-x/1+x 也是单增（在定义域中），设G(x)=1-x/1+x,对他求导后得-2/(1+x)^2而这恒小于0，因此内层函数是单减得，由于外层函数单增，所以f(x)在（-1,1）单减。
水平有限，说得不好的地方别介意。
1-x/1+x=（2-（1+x））/（1+x）=2/(1+x) -1
这个函数在（-1,1）上为 递减 函数
f(x)=lnx为增函数
合起来就为减函数啦
首先求导，f'(x)=(1/(1-x)*(-1)*(x+1)-ln(1-x))/((1+x)^2),分子上为:(x+1)/(x-1)-ln(1-x)=1+2/(x-1)-ln(1-x),而对分子再求导，得到：-2/((x-1)^2)-1/(1-x)*(-1)=-2/((x-1)^2)+1/(x-1),当x属于（-1,1）时，该分子的倒数小于0，所以1+2/(x-1)-ln(1-x)在（-1,1）上...
全部展开
首先求导，f'(x)=(1/(1-x)*(-1)*(x+1)-ln(1-x))/((1+x)^2),分子上为:(x+1)/(x-1)-ln(1-x)=1+2/(x-1)-ln(1-x),而对分子再求导，得到：-2/((x-1)^2)-1/(1-x)*(-1)=-2/((x-1)^2)+1/(x-1),当x属于（-1,1）时，该分子的倒数小于0，所以1+2/(x-1)-ln(1-x)在（-1,1）上单调递减，继而得到1+2/(x-1)-ln(1-x)在（-1,1）上的最大值为x=-1时取得，即为1+2/(-2)-ln(1-(-1))=-ln2<0,所以f'(x)的分子在（-1,1）上恒小于0，而分母为(1+x)^2恒大于0，所以f'(x)在（-1,1）上恒小于0，即得f(x)=ln（1-x）/1+x 在区间（-1,1）上为 递减 函数。证毕
我估计楼主在求ln(1-x)的时候出现问题，应该在1/(1-x)后还要对（1-x）关于x求导，所以还有个-1，估计你是错在这里。
收起