作业帮lim x→0 (a^x-1)/x=?答案为什么是lna?lim x→0 (a^x-1)/x=?答案为什么是lna?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 11:31:00
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lim x→0 (a^x-1)/x=?答案为什么是lna?
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一般人会用洛必达法则：
设
(1)当x→a时,函数f(x)及F(x)都趋于零；
(2)在点a的去心邻域内,f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0；
(3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大),那么
x→a时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x).
具体你的题目就是分子求导得到a^x*lna,分母求导得到1,再取极限x->0,分子变成lna,就是极限值.
但是题目要求的这个极限其实就是函数a^x在0处的导数值,因为导数本身就是由这个极限定义出来的.所以这里不应该再用求导的方法来做.下面的方法有点麻烦,但是却是这道题的最好的解答,你应该可以看得懂：
令a^x-1=t,根据指数函数连续性,当x->0时,t->0
然后,x=loga(1+t),（以a为底的对数）
(a^x-1)/x=t/[loga(1+t)] 并且 x->0变成是t->0的极限
因为[loga(1+t)]/t=loga[(1+t)^(1/t)]
并且,t->0时,[(1+t)^(1/t)]=e是显然的.
所以 [loga(1+t)]/t=loga[(1+t)^(1/t)] -> loga(e)
所以 (a^x-1)/x=t/[loga(1+t)] -> 1/loga(e)=lna
一般人会用洛必达法则：
设
(1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零；
(2)在点a的去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0；
(3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么
x→a时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
具体你的题目就是分子求导得到a...
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一般人会用洛必达法则：
设
(1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零；
(2)在点a的去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0；
(3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么
x→a时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
具体你的题目就是分子求导得到a^x*lna，分母求导得到1，再取极限x->0，分子变成lna，就是极限值。
但是题目要求的这个极限其实就是函数a^x在0处的导数值，因为导数本身就是由这个极限定义出来的。所以这里不应该再用求导的方法来做。下面的方法有点麻烦，但是却是这道题的最好的解答，你应该可以看得懂：
令a^x-1=t，根据指数函数连续性，当x->0时，t->0
然后，x=loga(1+t)，（以a为底的对数）
(a^x-1)/x=t/[loga(1+t)] 并且 x->0变成是t->0的极限
因为[loga(1+t)]/t=loga[(1+t)^(1/t)]
并且，t->0时，[(1+t)^(1/t)]=e是显然的。
所以 [loga(1+t)]/t=loga[(1+t)^(1/t)] -> loga(e)
所以 (a^x-1)/x=t/[loga(1+t)] -> 1/loga(e)=lna
收起
这就是a^x在x=0的导数