作业帮三角形内求求最大内接正方形面积的思路!
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 18:12:35
三角形内求求最大内接正方形面积的思路!
三角形内求求最大内接正方形面积的思路!
三角形内求求最大内接正方形面积的思路!
思路：假设△ABC是已知三角形,如果内接正方形EFGH有两顶点E、F在BC上,
此时设BC=a,AC=b,AB=c,BC边上的高AD=h1,设正方形EFGH的边长是x,
（又假设AC、AB边上的高分别为h2、h3）
1） 并且设△ABC是任意锐角三角形,并且a＞b＞c
由△ABC∽△AHG,所以高的比等于相似比
即：x/a=(h1-x)/h1,所以内接正方形边长x=ah1/（a+h1）
如果有两顶点在AB、AC边上时也同样可以得：边长为：bh2/（b+h2）,ch3/（c+h3）
要使内接正方形面积最大,则边长应最大,
下面比较ah1/（a+h1）、bh2/（b+h2）,ch3/（c+h3）的大小即可
因为△ABC的面积S=ah1/2=bh2/2=ch3/2,即 ah1=bh2=ch3
所以分子相同,分母越小,分数越大
比较a+h1、b+h2、c+h3
由（a+h1）-（b+h2）=（a-b）+（h1-h2）=（a-b）+（2S/a-2s/b）
=（a-b）+2S（1/a-1/b）=（a-b）（1-2S/ab）
=（a-b）（ab-2s）/ab （S是△ABC的面积）
由垂线段最短,知b大于高h1,即ab＞ah1,而ah1=2S,
所以（a-b）（ab-2s）/ab ＞0
所以 a+h1＞b+h2 ,即如果内接正方形有两个顶点在BC边上时,
边长较小,面积也较小
同理,如果有两顶点在AC边上时 其面积比两点在AB边上小
因此得结论：当内接正方形有两个顶点在最小边上时,其面积最大
此时内接正方形的边长是：ch3/（c+h3） （设最小边是c,这边上的高是h3）
面积就是其平方了.
2）直角三角形其内接正方形面积最大应为一顶点与直角顶点重合,三边上各有一顶点.
其边长为：两直角边之积/两直角边之和 .
3）类似方法讨论,任意钝角三角形,内接正方形的两个顶点在钝角所对的边上时面积最大,
其边长为：最大边与这边上的高的积/最大边与这边上高的和