2012年北京市大兴区 数列题,

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 18:09:55
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(1) m(1)=4 (4<5<7<9)
m(2)=3 (6<7<9),m(3)=3 (5<7<9),m(4)=2 (7<9),m(5)=1 (9),m(6)=2 (3<8),m(7)=2 (2<8),m(8)=1 (8),m(9)=1 (1)
所以m(1)=4,而m(i)的最大值为4.
(2) 4 7 2 9 1 6 8 3 5.
(3) 反证法,若不存在至少t+1的递增或递减子数列,下面来怒推矛盾.
如第一小题的“提示”,令m(i)表示以a(i)起头的最长单调增子数列的长度.根据反证条件m(i)<=t,同时因为最起码a(i)这个递增数列的长度是1,所以m(i)>=1.即m(i)可以取的值共有从1到t的t种情况.
m(1)到m(t^2+1)这t^2+1个数共有t种取值,根据抽屉原理,最起码有[(t^2+1)/t]+1=t+1个数,是取了相同的值.
设为m(b(1)))=m(b(2))=...=m(b(t+1))为这相同的t+1个数,（其中b(1)我们先证明a(b(1))>a(b(2)),这是因为如果a(b(1))a(b(2)).
同样道理,就可推理得a(b(1))>a(b(2))>a(b(3))>...>a(b(t+1)),因为b(1)证明就这么完毕了,收工.

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