作业帮设整数A、B、B-A、都不是3的倍数,证明：A^3+B^3是9的倍数
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/12 11:29:02
设整数A、B、B-A、都不是3的倍数,证明：A^3+B^3是9的倍数
设整数A、B、B-A、都不是3的倍数,证明：A^3+B^3是9的倍数
设整数A、B、B-A、都不是3的倍数,证明：A^3+B^3是9的倍数
显然,A、B被3整除的余数分别是1、2,不妨设A＝3m＋1,B＝3n＋2
A^3＋B^3
＝(A＋B)(A^2－AB＋B^2)
＝(A＋B)[(A＋B)^2－3AB]
∵A＋B＝3m＋1＋3n＋2＝3(m＋n＋1)是3的倍数
∴(A＋B)^2－3AB也是3的倍数
结论成立
既然B-A不是3的倍数，说明B,A除以3的余数不一样，而A，B不是3的倍数，所以A,B除以3的余数一个为1，另一个为2。 不妨设A=3m+1,B=3n-1，（m,n都是整数），A^3+B^3=（3m+1)^3+(3n-1)^3=... 自己计算，这明显是9的倍数。
A=3k+i k为整数，i=1或2
B=3h+j h为整数，j=1或2
B-A=3(h-k)+(j-i)不是3的倍数，j-i不等于0，故i，j分别为1和2。
故A+B=3(h+k)+(j+i)一定是3的倍数。
又A^3+B^3=(A+B)((A+B)^2-3AB)，因子都为3的倍数得证。
若一个数是3的倍数则可以表示成3x,所以A,B,的形式是3x-1,.3x-2,又A-B也不是3的倍数，所以，A,B,的表达形式不同，设A=3x-1,B=3y-2,则可算出他们的三次方之和变成3的倍数，由于手机打符号不方便，我没帮你把计算结果打出，~~，一般整除类问题都可以这样做的...
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若一个数是3的倍数则可以表示成3x,所以A,B,的形式是3x-1,.3x-2,又A-B也不是3的倍数，所以，A,B,的表达形式不同，设A=3x-1,B=3y-2,则可算出他们的三次方之和变成3的倍数，由于手机打符号不方便，我没帮你把计算结果打出，~~，一般整除类问题都可以这样做的
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不妨设 A=3m+1，B=3n+2，
A^3+B^3=（3m+1）^3+（3n+2）^3
=27m^3+27m^2+9m+1+27n^3+27n^2+9n+8
=9（3m^3+3m^2+m+3n^3+3n^2+n+1）
因为（3m^3+3m^2+m+3n^3+3n^2+n+1）是整数
所以A^3+B^3是9的倍数