已知x,y,z∈R,x^2+y^2+z^2=1,则x+2y+2z的最大值为?

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/04 14:32:08

已知x,y,z∈R,x^2+y^2+z^2=1,则x+2y+2z的最大值为?
已知x,y,z∈R,x^2+y^2+z^2=1,则x+2y+2z的最大值为?

已知x,y,z∈R,x^2+y^2+z^2=1,则x+2y+2z的最大值为?
答案：x+2y+2z最大值3
【因为不知道您的年纪,所以也不太清楚解此题用什么方法,请见谅】
1）如果您是初中生,可用二次函数的知识解答.
设x+2y+2z=k,则x=k-2y-2z代入x²+y²+z²=1
得 (k-2y-2z)²+y²+z²=1
(k²+4y²+4z²-4ky-4kz+8yz)+y²+z²=1
把y当成主元
得 5y²-4ky+8zy+5z²-4kz+k²-1=0
即 5y²-(4k-8z)y+5z²-4kz+k²-1=0
因为 y是实数,即此方程有实数根
△=(4k-8z)²-4×5×(5z²-4kz+k²-1)≥0
4(k-2z)²-5(5z²-4kz+k²-1)≥0
4k²-16kz+16z²-25z²+20kz-5k²+5≥0
-9z²+4kz-k²+5≥0
设f(z)= -9z²+4kz-k²+5
则开口向下的的抛物线f（z）的顶点必在x轴上方或在x轴上
即顶点的纵坐标大于等于0
即【4×(-9)×(-k²+5)-(4k)²】/[4×(-9)]≥0
【二次函数y=ax²+bx+c的顶点（-b/2a,[4ac-b²]/4a）】
20k²-180≤0
k²≤9
-3≤k≤3
所以x+2y+2z最大值3
2）如果您是高中生,用柯西不等式很方便
三元柯西不等式：(a²+b²+c²)(x²+y²+z²)≤(ax+by+cz)²（且仅当a/x=b/y=c/z时取等号）
所以 (1²+2²+2²)(x²+y²+z²)≤(1×x+2×y+2×z)²
即 9×1≤(x+2y+2z)²
-3≤x+2y+2z≤3
所以x+2y+2z最大值3
【已知几个量平方的和（系数不为1也行）,利用柯西不等式能求出任意一个这些量的线性组合的范围】
【数学爱好者竭诚为你解答】

证明已知xyz∈R^+, x^2x * y^2y* z^2z≥x^y+x* y^z+x * z^x+y 已知x,y,z∈ R,x+2y=z+6,x-y=3-2z,求x^2+y^2+z^2的最小值. 已知x,y,z∈R,求证:x^2+y^2>=xy+x+y-1 已知x,y,z∈R+,且x+y+z=3,求证：x^2/（y^2+z^2+yz）+y^2/(x^2+z^2+zx）+z^2/(x^2+y^2+xy)≥1 已知x、y、z∈R,且x+y+z、x+y-z、x-y+z、-x+y+z成等比数列,公比为q,则q^3+q^2+q的已知：x^2/(z+y)+y^2/(x+z)+z^2/(x+y)=0,求x/(z+y)+y/(x+z)+z/(x+y)的值. 已知(x+y)(x+z)=x,(y+z)(y+x)=2y,(z+x)(z+y)=3z,求x,y,z 已知x,y,z∈R,x^2+y^2+z^2=1,则x+2y+2z的最大值为? 已知x,y,z∈R,若x^4+y^4+z^4=1,求证x^2+y^2+z^2≤根号3 不等式计算已知x、y、z∈R+,且x^2+y^2+z^2=1,则yz/x+zx/y+xy/z的最小值是已知X,Y,Z∈R+,且1/X+2/Y+3/Z=1.求X+Y/2+Z/3的最小值已知x y z∈r＋3^x+4^Y+6^Z,求1/2y=1/z-1 /X 已知x,y,z∈R+,且x+2y+3z=3,.则xyz的最大值是_____. 已知x,y,z∈R+,3x+2y+z=6 求xyz的最大值若x,y,z∈R,且x+y+z=xyz,求证：(y+z)/x+(z+x)/y+(x+y)/z≥2(1/x+1/y+1/z)^2 若x,y,z∈R+,且x+y+z=xyz,求证:(y+z)/x+(z+x)/y+(x+y)/z＞2(1/x+1/y+1/z) 已知x、y、z∈R＋,求证x⒋+y⒋+z⒋≥(x+y+z)xyz 柯西不等式已知x,y,z∈R+,x+y+z=1,求(x+1/x)^2+(y+1/y)^2+(z+1/z)^2的最小值