方程根号x加根号y＝根号2012的整数解有几组?

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/06 10:51:41

方程根号x加根号y＝根号2012的整数解有几组?
方程根号x加根号y＝根号2012的整数解有几组?

方程根号x加根号y＝根号2012的整数解有几组?
将已知等式两边平方得 x+y+2√(xy)=2012 ,
因此 2√(xy)=2012-(x+y) ,
由于上式右端为整数,因此 √(xy) 为有理数,
由此知 x=ka^2 ,y=kb^2 ,其中 k>0 不含完全平方因数,
因此原式可化为 (a+b)*√k=√2012=2√503 ,
因此 a+b=2 ,k=503 ,
所以（1）a=0 ,b=2 ,k=503 即 x=0 ,y=2012 ；
（2）a=b=1 ,k=503 即 x=y=503 ；
（3）a=2 ,b=0 即 x=2012,y=0 ；
所以,方程的整数解有三组（x,y）=（0,2012）、（503,503）、（2012,0）.

√x＋√y＝√2012＝2√503＝√503＋√503＝0＋2√503.
①x＝√503
y＝√503
② x＝0
y＝2√503
③ x＝2√503
y＝0.
答：共有3组解。

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