已知函数f(x)=(x-4)(x-3)(x-2)(x-1),则方程f‘(x)有几个实数根

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/28 18:19:57
已知函数f(x)=(x-4)(x-3)(x-2)(x-1),则方程f‘(x)有几个实数根

已知函数f(x)=(x-4)(x-3)(x-2)(x-1),则方程f‘(x)有几个实数根
已知函数f(x)=(x-4)(x-3)(x-2)(x-1),则方程f‘(x)有几个实数根

已知函数f(x)=(x-4)(x-3)(x-2)(x-1),则方程f‘(x)有几个实数根
f(x)=(x-4)(x-1)(x-3)(x-2)=(x²-5x+4)(x²-5x+6)=(x²-5x+5)²-1
f′(x)=2(x²-5x+5)=2x²-10x+10
Δ=100-4×2×10=20>0
∴有两个实数根

因为f(1)=f(2)=0
f(x)在[1,2]连续,在(1,2)可导
则由罗尔定理
必有a使得f'(x1)=0
同理
在(2,3),(3,4)也有一根
所以有3个

f'(x)=(x-3)(x-2)(x-1)+(x-4)(x-2)(x-1)+(x-4)(x-3)(x-1)+(x-4)(x-3)(x-2)
=(x-3)(x-2)(2x-5)+(x-4)(x-1)(2x-5)
=(2x-5)(x^2-5x+6+x^2-5x+4)
=(2x-5)(2x^2-10x+10)
=2(2x-5)(x^2-5x+5)
f'(x)=0有3个实根

3个。两个极小值一个极大值。原函数过x轴1,2,3,4点。从右往左自上而下顺次连接,就是函数大致图形。两个波谷一个波峰。