作业帮计算二重积分.∫∫（x^2+y^2）dσ,D由直线y=x,y=x+a,y=a,y=3a(a>0)所围成的区域,
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 06:45:31
计算二重积分.∫∫（x^2+y^2）dσ,D由直线y=x,y=x+a,y=a,y=3a(a>0)所围成的区域,
计算二重积分.∫∫（x^2+y^2）dσ,D由直线y=x,y=x+a,y=a,y=3a(a>0)所围成的区域,
计算二重积分.∫∫（x^2+y^2）dσ,D由直线y=x,y=x+a,y=a,y=3a(a>0)所围成的区域,
将被积区域分为3段,x∈[0,a],x∈[a,2a],x∈[2a,3a],
依次求各段积分加起来就可以了,计算会很复杂
因为是闭曲面积分，可用格林公式逆公式，将曲面积分化为曲线积分
令dQ/dx=x²，dP/dy=- y²；所以Q=x³/3,P=-y³/3
∫∫（x^2+y^2）dσ=∫(-y³/3)dx+(x³/3)dy，曲线积分路径(0,a)->(a,a)->(3a,3a)->(2a,3a)->(0,a)
所以∫(0,a)->...
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因为是闭曲面积分，可用格林公式逆公式，将曲面积分化为曲线积分
令dQ/dx=x²，dP/dy=- y²；所以Q=x³/3,P=-y³/3
∫∫（x^2+y^2）dσ=∫(-y³/3)dx+(x³/3)dy，曲线积分路径(0,a)->(a,a)->(3a,3a)->(2a,3a)->(0,a)
所以∫(0,a)->(a,a) (-y³/3)dx+(x³/3)dy=-a*a³/3
∫(a,a)->(3a,3a) (-y³/3)dx+(x³/3)dy=0
∫(3a,3a)->(2a,3a) (-y³/3)dx+(x³/3)dy=a*(3a)³/3
∫(2a,3a)->(0,a) (-y³/3)dx+(x³/3)dy=∫(2a,0) (-(x+a)³/3)dx+∫(3a,a) ((y-a)³/3)dy
=1/3*1/4*[(3a)^4-a^4]-1/3*1/4*(2a)^4=16a^4/3
以上四式相加：∫(-y³/3)dx+(x³/3)dy=-a*a³/3+0+a*(3a)³/3+16a^4/3=14a^4
即：∫∫（x^2+y^2）dσ=14a^4
法二：将积分区域分成3段，分别进行面积分，计算也不简单……
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