如图,AD是△ABC的角平分线,EF垂直平分线段AD,且与BC的延长线相交于F点（1）求证：FD²=FC×FB (2)若AC：AB=2:3,且DC=4,求BD的长度

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/11 02:21:59

如图,AD是△ABC的角平分线,EF垂直平分线段AD,且与BC的延长线相交于F点（1）求证：FD²=FC×FB (2)若AC：AB=2:3,且DC=4,求BD的长度
如图,AD是△ABC的角平分线,EF垂直平分线段AD,且与BC的延长线相交于F点
（1）求证：FD²=FC×FB (2)若AC：AB=2:3,且DC=4,求BD的长度

如图,AD是△ABC的角平分线,EF垂直平分线段AD,且与BC的延长线相交于F点（1）求证：FD²=FC×FB (2)若AC：AB=2:3,且DC=4,求BD的长度
（1）证明：∵EF垂直平分AD,∴△FEA≌△FED（ASA) ∴AF=DF ∠FAE=∠FDA
即∠FAC+∠CAD=∠DAB+∠DBA ∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD
∴∠ABD=∠FAC 又∵∠AFC=∠BFA ∴△AFC∽△BFA ∴AF²=BF·CF ∴FD²=BF·CF
（2）由（1）得△AFC∽△BFA
AC:AB=CF:AF=CF:DF=2：3=AF:BF
2DF=3CF=2(FC+3)
∴FC=6 则 AF=DF=9 BF=27/2 ∴BD=BF-DF=9/2

①∵EF垂直平分AD，∴△FEA≌△FED
∴AF=FD， ∠FAE=∠FDE
∠ACF=∠FDE+∠CAD=∠FAE+∠BAD=∠FAB
∠AFB是共用角
∴△ACF∽△FAB
∴AF²=FC×FB
即：FD²=FC×FB
②根据三角形内角平分线定理：
三角形内角平分线分对边所成的两条线段，和两条邻边成比例<...

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①∵EF垂直平分AD，∴△FEA≌△FED
∴AF=FD， ∠FAE=∠FDE
∠ACF=∠FDE+∠CAD=∠FAE+∠BAD=∠FAB
∠AFB是共用角
∴△ACF∽△FAB
∴AF²=FC×FB
即：FD²=FC×FB
②根据三角形内角平分线定理：
三角形内角平分线分对边所成的两条线段，和两条邻边成比例
http://wenku.baidu.com/view/6ebb7b8f6529647d272852b0.html
即：CD/BD=AC/AB=2/3
所以BD=4*3/2=6

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