作业帮二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1.⑴求f(x)的解析式；⑵在区间[-1,1]上,y=f(x)的图像恒在y=2x+m的图像上方,试确定实数m的范围.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/12 00:34:45
![二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1.⑴求f(x)的解析式；⑵在区间[-1,1]上,y=f(x)的图像恒在y=2x+m的图像上方,试确定实数m的范围.](/uploads/image/z/6136469-53-9.jpg?t=%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%E6%BB%A1%E8%B6%B3f%28x%2B1%29-f%28x%29%3D2x%2C%E4%B8%94f%280%29%3D1.%E2%91%B4%E6%B1%82f%28x%29%E7%9A%84%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%BC%8F%EF%BC%9B%E2%91%B5%E5%9C%A8%E5%8C%BA%E9%97%B4%5B-1%2C1%5D%E4%B8%8A%2Cy%3Df%28x%29%E7%9A%84%E5%9B%BE%E5%83%8F%E6%81%92%E5%9C%A8y%3D2x%2Bm%E7%9A%84%E5%9B%BE%E5%83%8F%E4%B8%8A%E6%96%B9%2C%E8%AF%95%E7%A1%AE%E5%AE%9A%E5%AE%9E%E6%95%B0m%E7%9A%84%E8%8C%83%E5%9B%B4.)
二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1.⑴求f(x)的解析式；⑵在区间[-1,1]上,y=f(x)的图像恒在y=2x+m的图像上方,试确定实数m的范围.
二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1.
⑴求f(x)的解析式；
⑵在区间[-1,1]上,y=f(x)的图像恒在y=2x+m的图像上方,试确定实数m的范围.
二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1.⑴求f(x)的解析式；⑵在区间[-1,1]上,y=f(x)的图像恒在y=2x+m的图像上方,试确定实数m的范围.
已知函数类型的可以用待定系数法
（1）设f(x)=ax^2+bx+c,f(0)=c=1
则f(x+1)=a(x+1)^2+b(x+1)+c
代入f(x+1)-f(x)=2x得2ax+a+b=2x
则2a=2,a+b=0,推出a=1,b=-1
所以f(x)=x^2-x+1
（2）图像恒在上方,即f(x)>2x+m在[-1,1]上恒成立
x^2-x+1>2x+m
x^2-3x+1>m
令g(x)=x^2-3x+1,只要满足g(x)min=g(1)=-1>m,就满足条件了
(1)
设f(x)=ax^2+bx+c
由f(0)=1 得 c=1
f(x+1)-f(x)=a(x+1)^2+b(x+1)+1-ax^2-bx-1=2ax+a+b=2x
得 2a=2 a+b=0
即 a=1 b=-1
f(x)的解析式为 f(x)=x^2-x+1
(2)
在区间[-1，1]上，y=f(x)的图像恒在y=2x+m...
全部展开
(1)
设f(x)=ax^2+bx+c
由f(0)=1 得 c=1
f(x+1)-f(x)=a(x+1)^2+b(x+1)+1-ax^2-bx-1=2ax+a+b=2x
得 2a=2 a+b=0
即 a=1 b=-1
f(x)的解析式为 f(x)=x^2-x+1
(2)
在区间[-1，1]上，y=f(x)的图像恒在y=2x+m的图像上方
即在区间[-1，1]上 f(x)-(2x+m)恒大于零
即 在区间[-1，1]上 g(x)=x^2-x+1-(2x+m)=x^2-3x+1-m>0
令g'(x)=2x-1=0 得 x=1/2
分情况讨论
-1<=x<=1/2时 g'(x)<=0 g(x)递减
1/2
g(x)的最小值为g(1/2)=(1/2)^2-3*1/2+1-m>0
即 m<-1/4
g(x)的最小值都大于0 那么所有的g(x)都大于0
即y=f(x)的图像恒在y=2x+m的图像上方
收起