如图,△ABC是等腰直角三角形,BC=AC,直角顶点C在x轴上,一锐角顶点B在y轴上.如图②,若y轴恰好平分∠ABC,AC与y轴交与点D,过点A作AE⊥y轴于E,问BD与AE有怎样的数量关系,并说明理由.（3）如图③,直角

如图,△ABC是等腰直角三角形,BC=AC,直角顶点C在x轴上,一锐角顶点B在y轴上.如图②,若y轴恰好平分∠ABC,AC与y轴交与点D,过点A作AE⊥y轴于E,问BD与AE有怎样的数量关系,并说明理由.（3）如图③,直角
如图,△ABC是等腰直角三角形,BC=AC,直角顶点C在x轴上,一锐角顶点B在y轴上.
如图②,若y轴恰好平分∠ABC,AC与y轴交与点D,过点A作AE⊥y轴于E,问BD与AE有怎样的数量关系,并说明理由.
（3）如图③,直角边BC在两坐标轴上滑动,使点A在第四象限内,
过A点作AF⊥y轴于F,在滑动的过程中,两个结论① 为
定值；② 为定值,只有一个结论成立,请你判断正确的
结论加以证明并求出定值.
两个结论      co-af/ob 为定值    co+af/ob 为定值

如图,△ABC是等腰直角三角形,BC=AC,直角顶点C在x轴上,一锐角顶点B在y轴上.如图②,若y轴恰好平分∠ABC,AC与y轴交与点D,过点A作AE⊥y轴于E,问BD与AE有怎样的数量关系,并说明理由.（3）如图③,直角
(2)BD=2AE.
证明:延长AE和BC交于点M.
∵∠ABE=∠MBE;BE=BE;∠AEB=∠MEB=90°.
∴⊿ABE≌⊿MBE(ASA),AE=ME,AM=2AE;
又∠MAC=∠DBC(均为∠M的余角);AC=BC;∠ACM=∠BCD=90°.
∴⊿ACM≌⊿BCD(ASA),故BD=AM=2AE.
(3)(CO-AF)/OB的结果为定值1.
证明:作AN垂直CO于N,则∠CAN+∠ACN=90°;
又∠BCO+∠ACN=90°.故:∠CAN=∠BCO(同角的余角相等);
又∵CA=CB;∠ANC=∠COB=90°.
∴⊿ANC≌⊿COB(AAS),NC=OB.
所以,(CO-AF)/OB=(CO-NO)/OB=NC/OB=1.

（1）∵点C坐标是（-1，0），点A的坐标是（-3，1）
∴AD=OC（1分）
在Rt△ADC和Rt△COB中
AD=OCAC=BC
∴Rt△ADC≌Rt△COB（HL）（2分）
∴OB=CD=2（3分）
∴点B的坐标是（0，2）（4分）
（2）猜想：AE=
12BD（5分）
证法一：延长AE交BC的延长线于点F，
∵...

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（1）∵点C坐标是（-1，0），点A的坐标是（-3，1）
∴AD=OC（1分）
在Rt△ADC和Rt△COB中
AD=OCAC=BC
∴Rt△ADC≌Rt△COB（HL）（2分）
∴OB=CD=2（3分）
∴点B的坐标是（0，2）（4分）
（2）猜想：AE=
12BD（5分）
证法一：延长AE交BC的延长线于点F，
∵∠ABE=∠FBE，∠AEB=∠FEB=90°，BE=BE，
∴△ABE≌△FBE（ASA），
得AE=EF=12AF，
证△BCD≌△ACF（ASA）
得AF=BD（7分）
∴AE=
12BD（8分）
证法二：作BD的中垂线交BD于F，AB于点G，连接GD
则GB=GDFD=BF=12BD
∴∠GBD=∠GDF
∵y轴平分∠ABC，且∠ABC=45°
∴∠GBD=∠GDF=22.5°
∵∠AGD=∠GBD+∠GDF
∴∠AGD=45°
∵∠BAC=45°
∴∠AGD=∠BAC
∴DG=AD
∵∠CBD+∠CDB=∠DAE+∠ADE=90°，且∠CDB=∠ADE
∴∠DAE=∠CBD=22.5°
∴∠DAE=∠GDF
在Rt△GDF和Rt△EAD中
∠GDF=∠DAE∠GFD=∠AEDGD=AD
∴Rt△GDF≌Rt△EAD（AAS）∴AE=DF=12BD
(3)(CO-AF)/OB的结果为定值1。
证明:作AN垂直CO于N,则∠CAN+∠ACN=90°;
又∠BCO+∠ACN=90°.故:∠CAN=∠BCO(同角的余角相等);
又∵CA=CB;∠ANC=∠COB=90°.
∴⊿ANC≌⊿COB(AAS),NC=OB.
所以,(CO-AF)/OB=(CO-NO)/OB=NC/OB=1.

收起

　　猜想：AE=
　　1
　　2
BD（5分）
　　证法一：延长AE交BC的延长线于点F，
　　∵∠ABE=∠FBE，∠AEB=∠FEB=90°，BE=BE，
　　∴△ABE≌△FBE（ASA），
　　得AE=EF=
　　1
　　2
AF，
　　证△BCD≌△ACF（ASA）
　　得AF=BD（7分）<...

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　　猜想：AE=
　　1
　　2
BD（5分）
　　证法一：延长AE交BC的延长线于点F，
　　∵∠ABE=∠FBE，∠AEB=∠FEB=90°，BE=BE，
　　∴△ABE≌△FBE（ASA），
　　得AE=EF=
　　1
　　2
AF，
　　证△BCD≌△ACF（ASA）
　　得AF=BD（7分）
　　∴AE=
　　1
　　2
BD（8分）
　　证法二：作BD的中垂线交BD于F，AB于点G，连接GD
　　则GB=GDFD=BF=
　　1
　　2
BD
　　∴∠GBD=∠GDF
　　∵y轴平分∠ABC，且∠ABC=45°
　　∴∠GBD=∠GDF=22.5°
　　∵∠AGD=∠GBD+∠GDF
　　∴∠AGD=45°
　　∵∠BAC=45°
　　∴∠AGD=∠BAC
　　∴DG=AD
　　∵∠CBD+∠CDB=∠DAE+∠ADE=90°，且∠CDB=∠ADE
　　∴∠DAE=∠CBD=22.5°
　　∴∠DAE=∠GDF
　　在Rt△GDF和Rt△EAD中
　　∠GDF=∠DAE∠GFD=∠AEDGD=AD
　　∴Rt△GDF≌Rt△EAD（AAS）
　　∴AE=DF=
　　1
　　2
BD
　　（3）结论
　　CO-AF
　　OB
成立（9分）
　　CO-AF
　　OB=1（10分）

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(1)设B(0,Y),((0-2)^2)+((Y-0)^2)=((2+2)^2)+((0+2)^2)
∴Y=4 ∴B坐标(0，4).
(2)延长BC交AE延长线于F,
因为BE平分∠ABC,AE⊥BE .∴BA=BF
AE=EF.易知RT△FCA∼RT△FEB
∴∠CAF=∠EBF AC=BC
∴RT△FCA≅RT△DC...

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(1)设B(0,Y),((0-2)^2)+((Y-0)^2)=((2+2)^2)+((0+2)^2)
∴Y=4 ∴B坐标(0，4).
(2)延长BC交AE延长线于F,
因为BE平分∠ABC,AE⊥BE .∴BA=BF
AE=EF.易知RT△FCA∼RT△FEB
∴∠CAF=∠EBF AC=BC
∴RT△FCA≅RT△DCB
∴AF=BD ∴BD=2AE
(3)连CF,在Y轴上FE=AF,连CE.
∠BCA+∠BFA=90°+90°=180°
∴B、F、A、C四点共圆，
∴∠BFC=∠BAC=45°
∴OF=OC
∠EFC=∠AFC=45° FE=FA
∴△AFC≅△EFC
∴CA=CE 又CA=CB
∴CE=CB CO=CO
∴RT△COE≅RT△COB
∴OB=OE
∴OB+AF=OE+EF=OF
∴OC=AF+OB

收起

等于1

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