作业帮如图,三角形ABC是边长为3的等边三角形,三角形BDC是等腰三角形,且角BDC=120度.以D为顶点做一个60度角,使其两边分别交AB于点M,交AC于点N,连接MN,求证：三角形DMN的周长是否为定值.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 03:58:34
如图,三角形ABC是边长为3的等边三角形,三角形BDC是等腰三角形,且角BDC=120度.以D为顶点做一个60度角,使其两边分别交AB于点M,交AC于点N,连接MN,求证：三角形DMN的周长是否为定值.
如图,三角形ABC是边长为3的等边三角形,三角形BDC是等腰三角形,且角BDC=120度.以D为顶点做一个60度角,使其两边分别交AB于点M,交AC于点N,连接MN,求证：三角形DMN的周长是否为定值.
如图,三角形ABC是边长为3的等边三角形,三角形BDC是等腰三角形,且角BDC=120度.以D为顶点做一个60度角,使其两边分别交AB于点M,交AC于点N,连接MN,求证：三角形DMN的周长是否为定值.
1、图中A、D两点分居BC的两侧.
∵AB=BC=AC=3,∴∠A=60°,又∵BD=DC,∠BDC=120°,∴△ABD≌△ACD(S、S、S),
易得∠ABD=∠ACD=90°,∠ADB=∠ADC=60°,且BD=DC=√3,AD=2√3.
设若∠MDN位于∠BDA的位置,即M重合于B而N重合于A,此时△DMN的周长为3+3√3；
而当∠MDN居中以DA为平分线时,易证AMDN是菱形且边长为2,此时△DMN的周长为6,
可见△DMN的周长不是定值.
2、在题设条件下△AMN的周长是定值.兹证明如下.
设∠MDN在某个一般位置（M在AB上,N在AC上）,
已证∠ABD=∠ACD=90°,延长AB到E,使BE=NC,连接DE,
∵BD=DC,BE=NC,∴rt△EBD≌rt△NCD,得∠EDB=∠NDC,ED=ND,
∵∠BDC=120°,∠MDN=60°,∴∠MDB+∠NDC=60°,于是∠MDB+∠EDB=∠MDE=60°,
得△MDE≌△MDN,（S、a、S）,有ME=MN,
∴△AMN的周长=AM+MN+AN=AM+ME+AN=AB+BE+AN=AB+AN+NC=AB+AC=6=定值.
∵∠BDC=120度，BDC是等腰三角形，三角形ABC是等边三角形
∴AD⊥BC，∠CAD=∠BAD=30°，∠BCD=∠CBD=30°
∴∠ACD=∠ABD=90°
在△DMN中，∠MND=∠NMD=60°
所以MN=MD=ND
根据勾股定理和30°角对应的直角边=斜边的一半，AD=3，可以解得DC=根号3
在直角三角形NCD中，根据勾股定理和30...
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∵∠BDC=120度，BDC是等腰三角形，三角形ABC是等边三角形
∴AD⊥BC，∠CAD=∠BAD=30°，∠BCD=∠CBD=30°
∴∠ACD=∠ABD=90°
在△DMN中，∠MND=∠NMD=60°
所以MN=MD=ND
根据勾股定理和30°角对应的直角边=斜边的一半，AD=3，可以解得DC=根号3
在直角三角形NCD中，根据勾股定理和30°角对应的直角边=斜边的一半，AD=3，以解得NC=1，DN=2
所以三角形DMN的周长=3*2=6，是个定值。
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