作业帮已知抛物线y^2=2px(p>0)上任一点到焦点的距离比到y轴的距离大11、求抛物线方程2、设A、B为抛物线上两点,且AB不与x轴垂直,若线段AB的垂直平分线恰过点M（4,0）,求|AB|的最大值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 18:45:55
已知抛物线y^2=2px(p>0)上任一点到焦点的距离比到y轴的距离大11、求抛物线方程2、设A、B为抛物线上两点,且AB不与x轴垂直,若线段AB的垂直平分线恰过点M（4,0）,求|AB|的最大值
已知抛物线y^2=2px(p>0)上任一点到焦点的距离比到y轴的距离大1
1、求抛物线方程
2、设A、B为抛物线上两点,且AB不与x轴垂直,若线段AB的垂直平分线恰过点M（4,0）,求|AB|的最大值
已知抛物线y^2=2px(p>0)上任一点到焦点的距离比到y轴的距离大11、求抛物线方程2、设A、B为抛物线上两点,且AB不与x轴垂直,若线段AB的垂直平分线恰过点M（4,0）,求|AB|的最大值
答：
抛物线y^2=2px的焦点F(p/2,0),准线方程x=-p/2
抛物线上的点到焦点F的距离等于其到准线的距离.
（1）抛物线上的点到交点的距离比到y轴即直线x=0的距离大1,
说明直线x=0和准线x=-p/2之间的距离为1,所以：
0-(-p/2)=p/2=1,p=2
所以：抛物线方程为y^2=4x
（2）设点A为（a^2,2a）,点B为（b^2,2b）,AB不垂直于x轴,所以：a^2≠b^2.
AB的中点D为（a^2/2+b^2/2,a+b）,AB的斜率为kAB=(2a-2b)/(a^2-b^2)=2/(a+b).
因为点M(4,0)在AB的垂直平分线上,所以MD即为AB的垂直平分线,两直线的斜率乘积为-1：
kMD=(a+b-0)/(a^2/2+b^2/2-4)=2(a+b)/(a^2+b^2-8)
因为：kAB*kMD=-1
所以：[2/(a+b)]*[2(a+b)/(a^2+b^2-8)]=4/(a^2+b^2-8)=-1
所以：a^2+b^2=4
|AB|=√[(a^2-b^2)^2+(2a-2b)^2]
=√[(a^2+b^2)^2-4a^2*b^2+4(a^2+b^2)-8ab]
=√(16-4a^2*b^2+16-8ab)
=2√[-(ab+1)^2+9]
当ab+1=0即时,|AB|最大值为2√(0+9)=6
所以：|AB|的最大值为6.