设二次函数f(x)=x²+2x,x∈[n,n+1](n∈N*),f(x)的最大值与最小值之差为g(n).①求g(n)的表达式；②设bn=g(n)÷二的n次方,求数列｛bn｝前n项和Tn;③设an=(二乘n的三次方+三乘n的平方）÷g(n) （n∈N*）,Sn=a

设二次函数f(x)=x²+2x,x∈[n,n+1](n∈N*),f(x)的最大值与最小值之差为g(n).①求g(n)的表达式；②设bn=g(n)÷二的n次方,求数列｛bn｝前n项和Tn;③设an=(二乘n的三次方+三乘n的平方）÷g(n) （n∈N*）,Sn=a
设二次函数f(x)=x²+2x,x∈[n,n+1](n∈N*),f(x)的最大值与最小值之差为g(n).①求g(n)的表达式；
②设bn=g(n)÷二的n次方,求数列｛bn｝前n项和Tn;③设an=(二乘n的三次方+三乘n的平方）÷g(n) （n∈N*）,Sn=a1-a2+a3-a4+.+(-1)的(n-1)次方,求Sn.

设二次函数f(x)=x²+2x,x∈[n,n+1](n∈N*),f(x)的最大值与最小值之差为g(n).①求g(n)的表达式；②设bn=g(n)÷二的n次方,求数列｛bn｝前n项和Tn;③设an=(二乘n的三次方+三乘n的平方）÷g(n) （n∈N*）,Sn=a
1：因为n∈N*,因此n>0.又因为f(x)=x²+2x,是一个过（0,0）和（-2,0）点,开口向上的抛物线,因此当x>0时,f(x)单调递增.
所以,g(n)=f(n+1) - f（n）= （n+1）^2 + 2*(n+1) - n^2 -2*n = 2*n +3
2:因为bn = （2*n+3)/2^n
所以Tn = 5*（1/2） + 7*（1/2）^2+ ...+(2n+3)*（1/2）^n
Tn/2 = 5*（1/2）^2 + 7*（1/2）^3+ ...+(2n+3)*（1/2）^(n+1)
做差：Tn - Tn/2 = 5*（1/2）+2*（1/2）^2+...2*（1/2）^n-(2n+3)*（1/2）^(n+1)
有：Tn/2 = 2.5 +[0.5 +0.5^2 +...+0.5^(n-1)] -(2n+3)*（1/2）^(n+1)
= 2.5+0.5(1-0.5^(n-1))/(1-0.5) -[(2n+3)*（1/2）^(n+1)]
= 2.5+1-0.5^(n-1)-[n*0.5^n+3*0.5^(n+1)]
= 3.5-(n+3.5)0.5^n
=7/2 -(n+7/2)*2^(-n)
3:因为an=(2n^3-3n^2)/(2n-3)= n^2
且a（n+1）-an = 2n+3
所以：Sn=a1-a2+a3-a4+.+(-1)^(n-1) a（n-1）
=1-4+9-16.+(-1)^(n-1)a(n-1)
两两配对,可以得到：
Sn = a1+（-a2+a3）+...+()
=a1+(3^2-2^2))+.
讨论：
当n为奇数时：
Sn = a1+(3^2-2^2))+.+(-(n-1)^2+n^2))
= 1+5+9+...(2n-1)--------------------》这是个公差为4的等差数列
=n(n+1)/2
当n为偶数时：
Sn = (1^2-2^2)+(3^2-4^2)+...+[(n-1)^2 - n^2]
= -(3+7+11+...+(2n-1))--------------------》这是个公差为4的等差数列
=-n(n+1)/2