已知x满足不等式log1/2（x）≥log1/2（2-x）,求函数f(x)=[log2(x/4)]*[log2(x/2)]的最小值

已知x满足不等式log1/2（x）≥log1/2（2-x）,求函数f(x)=[log2(x/4)]*[log2(x/2)]的最小值
已知x满足不等式log1/2（x）≥log1/2（2-x）,
求函数f(x)=[log2(x/4)]*[log2(x/2)]的最小值

已知x满足不等式log1/2（x）≥log1/2（2-x）,求函数f(x)=[log2(x/4)]*[log2(x/2)]的最小值
由log1/2（x）≥log1/2（2-x）,得:x大于0小于等于1,(*)
f(x)=[log2(x/4)]*[log2(x/2)]=[log2(x)-2]*[log2(x)-1]=[log2(x)]^2-3log2(x)+2=[log2(x)-3/2]^2-3/4
由(*)得log2(x)小于等于0
所以f(x)的最小值=[0-3/2]^2-3/4=2

log1/2（x）≥log1/2（2-x）
定义域
x>0,2-x>0
0底数1/2小于1，对数是减函数
所以x<=2-x
所以0f(x)=[log2(x/4)]*[log2(x/2)]=lg(x/4)*lg(x-2)/(lg2)^2
分子=lg(x/4)*lg(x-2)
=(lgx-l...

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log1/2（x）≥log1/2（2-x）
定义域
x>0,2-x>0
0底数1/2小于1，对数是减函数
所以x<=2-x
所以0f(x)=[log2(x/4)]*[log2(x/2)]=lg(x/4)*lg(x-2)/(lg2)^2
分子=lg(x/4)*lg(x-2)
=(lgx-lg4)*(lgx-lg2)
=(lgx)^2-(lg4+lg2)*lgx+lg4*lg2
=(lgx)^2-lg8*lgx+lg4*lg2
=[lgx-(1/2)*lg8]^2-[(1/2)*lg8]^2+lg4*lg2
=[lgx-lg√8]^2-(lg√8)^2+lg4*lg2
0所以二次函数在对称轴左边，开口向上
所以是减函数
所以x=1,lgx=0时最小
lgx=0，分子=lg4*lg2
此时f(x)=lg4*lg2/(lg2)^2=lg4/lg2=2
所以最小值=2

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