已知平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交与点O,E是BD延长线上的一点,且三角形ACE是等边三角形.（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如图（2）,若∠AED=2∠EAD,AC=6,求DE的长.

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/04 16:53:26

已知平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交与点O,E是BD延长线上的一点,且三角形ACE是等边三角形.（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如图（2）,若∠AED=2∠EAD,AC=6,求DE的长.
已知平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交与点O,E是BD延长线上的一点,且三角形ACE是等边三角形.
（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如图（2）,若∠AED=2∠EAD,AC=6,求DE的长.

已知平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交与点O,E是BD延长线上的一点,且三角形ACE是等边三角形.（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如图（2）,若∠AED=2∠EAD,AC=6,求DE的长.
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC,
∵△ACE是等边三角形．
∴OE⊥AC,
∴BD⊥AC,
∴四边形ABCD是菱形；
（2）∵△ACE是等边三角形,OE⊥AC,
∴∠AEO=1/2∠AEC=30°
∵∠AED=2∠EAD,
∴∠EAD=15°
∴∠ADB=45°,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AD=DC,BD⊥AC,
∴∠CDB=∠ADB=45°
∴∠ADC=90°,
∴△ADC是等腰直角三角形,
∴OA=OC=OD=1/2AC=3
∵△ACE是等边三角形,
∴∠EAO=60°
在Rt△AOE中,OE=OAtan60°=3根号3
∴DE=OE-OD=3根号3-3

证明：
（1）
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AO=OC
∵△ACE是等边三角形
∴EO⊥AC
∴BD⊥AC
∴四边形ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）
（2）
∵△ACE是等边三角形，O是AC中点
∴∠AEC=30°
∵∠AED=2∠EAD
∴∠EAD=15°
∴∠ADB=3...

全部展开

证明：
（1）
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AO=OC
∵△ACE是等边三角形
∴EO⊥AC
∴BD⊥AC
∴四边形ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）
（2）
∵△ACE是等边三角形，O是AC中点
∴∠AEC=30°
∵∠AED=2∠EAD
∴∠EAD=15°
∴∠ADB=30°+15°=45°
同理可得∠CDB=45°
∴∠ADC=90°
∵四边形ABCD是菱形
∴四边形ABCD是正方形
请采纳。

收起

证明：
（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴AO=OC
∵△ACE是等边三角形
∴EO⊥AC
∴BD⊥AC
∴四边形ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）

AE = EC
AO = OC
EO 共线
△AOE ≌ △COE
∠AOE = ∠COE = 90°
于是 Rt△AOD ≌ △COD
AD = CD
四边形ABCD是菱形。
（2）∠AED=2∠EAD = 30°
∠EAD = 15°
∠OAD = 45°
AC= 6
OD = AO = 3
OE = √3 * AO = 3√3
DE = OE- OD = 3√3 - 3 = 3(√3-1)